Основы теории систем и системный анализ (лекции)
Отметим еще один
способ оценки корреляционной связи двух случайных величин — если просуммировать
произведения отклонений каждой из них от своего среднего значения, то
полученную величину —
Сxy=
S (X - Mx)·(Y - My)
или ковариацию
величин X и Y отличает от коэффициента корреляции два показателя:
во-первых, усреднение (деление на число наблюдений или пар X,
Y) и, во-вторых, нормирование путем деления на
соответствующие среднеквадратичные отклонения.
Такая оценка
связей между случайными величинами в сложной системе является одним из
начальных этапов системного анализа, поэтому уже здесь во всей остроте
встает вопрос о доверии к выводу о наличии или отсутствии связей между двумя
СВ.
В современных
методах системного анализа обычно поступают так. По найденному значению R
вычисляют вспомогательную величину:
W = 0.5 Ln[(1 +
R)/(1-R)] {2 - 12}
и вопрос о
доверии к коэффициенту корреляции сводят к доверительным интервалам для
случайной величины W, которые определяются стандартными таблицами или формулами.
В отдельных
случаях системного анализа приходится решать вопрос о связях нескольких
(более 2) случайных величин или вопрос о множественной корреляции.
Пусть X, Y
и Z - случайные величины, по наблюдениям над которыми мы установили их
средние Mx, My,Mz и
среднеквадратичные отклонения Sx, Sy, Sz.
Тогда можно
найти парные коэффициенты корреляции Rxy, Rxz,
Ryz по приведенной выше формуле. Но этого явно недостаточно -
ведь мы на каждом из трех этапов попросту забывали о наличии третьей случайной
величины! Поэтому в случаях множественного корреляционного анализа иногда
требуется отыскивать т. н. частные коэффициенты корреляции —
например, оценка виляния Z на связь между X и Y
производится с помощью коэффициента
Rxy.z = {2
- 13}
И, наконец,
можно поставить вопрос — а какова связь между данной СВ и совокупностью
остальных? Ответ на такие вопросы дают коэффициенты множественной корреляции
Rx.yz, Ry.zx, Rz.xy, формулы для
вычисления которых построены по тем же принципам — учету связи одной из
величин со всеми остальными в совокупности.
На
сложности вычислений всех описанных показателей корреляционных связей можно
не обращать особого внимания - программы для их расчета достаточно просты и
имеются в готовом виде во многих ППП современных компьютеров.
Достаточно
понять главное — если при формальном описании элемента сложной системы,
совокупности таких элементов в виде подсистемы или, наконец, системы в целом,
мы рассматриваем связи между отдельными ее частями, — то
степень тесноты этой связи в виде влияния одной СВ на другую можно и нужно
оценивать на уровне корреляции.
В заключение
заметим еще одно — во всех случаях системного анализа на корреляционном
уровне обе случайные величины при парной корреляции или все при множественной
считаются "равноправными" — т. е. речь идет о взаимном влиянии СВ
друг на друга.
Так бывает
далеко не всегда - очень часто вопрос о связях Y и X ставится в
иной плоскости — одна из величин является зависимой (функцией) от другой
(аргумента).
В тех случаях,
когда из природы процессов в системе или из данных наблюдений над ней следует
вывод о нормальном законе распределения двух СВ - Y и X, из
которых одна является независимой, т. е. Y является функцией X,
то возникает соблазн определить такую зависимость “формульно”, аналитически.
В случае успеха нам будет
намного проще вести системный анализ — особенно для элементов системы типа
"вход-выход”. Конечно, наиболее заманчивой является перспектива линейной
зависимости типа Y = a + b·X
.
Подобная задача
носит название задачи регрессионного анализа и предполагает следующий
способ решения.
Выдвигается
следующая гипотеза:
H0:
случайная величина Y
при фиксированном значении величины X распределена нормально
с математическим ожиданием
My = a + b·X и дисперсией Dy, не зависящей от X. {2 - 14}
При наличии
результатов наблюдений над парами Xi и Yi
предварительно вычисляются средние значения My и Mx,
а затем производится оценка коэффициента b в
виде
b = = Rxy {2 - 15}
что следует из
определения коэффициента корреляции {2 - 11}.
После этого
вычисляется оценка для a в виде
a = My - bMX
{2 - 16}
и производится
проверка значимости полученных результатов. Таким образом,
регрессионный анализ является мощным, хотя и далеко не всегда допустимым
расширением корреляционного анализа, решая всё ту же задачу оценки связей в
сложной системе.
Что такое -
статистическое решение? В качестве простейшего примера рассмотрим ситуацию, в
которой вам предлагают сыграть в такую игру:
· вам заплатят 2 доллара, если подброшенная
монета упадет вверх гербом;
· вы заплатите 1 доллар, если она упадет гербом
вниз.
Скорее всего, вы
согласитесь сыграть, хотя понимаете степень риска. Вы сознаете, "знаете"
о равновероятности появления герба и "вычисляете" свой
выигрыш 0.5 · 1- 0.5 · 1= +
$0.5.
Усложним игру —
вы видите, что монета несколько изогнута и возможно будет падать чаще одной из
сторон. Теперь решение играть или не играть по-прежнему зависит от
вероятности выигрыша, которая не может быть заранее (по латыни — apriori)
принята равной 0.5.
Человек,
знакомый со статистикой, попытается оценить эту вероятность с
помощью опытов, если конечно они возможны и стоят не очень дорого.
Немедленно возникает вопрос - сколько таких бросаний вам будет достаточно?
Пусть с вас причитается 5 центов
за одно экспериментальное бросание, а ставки в игре составляют $2000 против
$1000. Скорее всего, вы согласитесь сыграть, заплатив сравнительно
небольшую сумму за 100..200 экспериментальных бросков. Вы, наверное, будете
вести подсчет удачных падений и, если их число составит 20 из 100, прекратите
эксперимент и сыграете на ставку $2000 против $1000, так как ожидаемый выигрыш
оценивается в 0.8·2000 + 0.2·1000 -100·0.05=$1795.
В приведенных
примерах главным для принятия решения была вероятность благоприятного исхода
падения монетки. В первом случае — априорная вероятность, а во втором —
апостериорная. Такую информацию принято называть данными о состоянии
природы.
Приведенные примеры имеют самое непосредственное отношение к
существу нашего предмета. В самом деле — при системном управлении приходится
принимать решения в условиях, когда последствия таких решений заранее
достоверно неизвестны. При этом вопрос: играть или не играть — не стоит!
"Играть" надо, надо управлять системой. Вы
спросите - а как же запрет на эксперименты? Ответ можно дать такой — само
поведение системы в обычном ее состоянии может рассматриваться как
эксперимент, из которого при правильной организации сбора и обработки
информации о поведении системы можно ожидать получения данных для выяснения
особенности системного подхода к решению задач управления.
В большинстве случаев
практического применения системного анализа для исследования свойств и
последующего оптимального управления системой можно выделить следующие основные
этапы: ·
Содержательная постановка задачи
· Построение модели изучаемой системы
· Отыскание решения задачи с помощью модели
· Проверка решения с помощью модели
· Подстройка решения под внешние условия
· Осуществление решения
Остановимся
вкратце на каждом из этих этапов. Будем выделять наиболее сложные в понимании
этапы и пытаться усвоить методы их осуществления на конкретных примерах.
Но уже сейчас отметим, что в каждом конкретном случае этапы системного занимают
различный “удельный вес” в общем объеме работ по временным, затратным и
интеллектуальным показателям. Очень часто трудно провести четкие границы —
указать, где оканчивается данный этап и начинается очередной.
Уже упоминалось,
что в постановке задачи системного анализа обязательно участие двух сторон:
заказчика (ЛПР) и исполнителя данного системного проекта. При этом участие
заказчика не ограничивается финансированием работы - от него требуется (для
пользы дела) произвести анализ системы, которой он управляет, сформулированы
цели и оговорены возможные варианты действий. Так, — в упомянутом ранее
примере системы управления учебным процессом одной из причин тихой кончины
ее была та, что одна из подсистем руководство Вузом практически не обладала
свободой действий по отношению к подсистеме обучаемых.
Конечно же, на
этом этапе должны быть установлены и зафиксированы понятия эффективности
деятельности системы. При этом в соответствии с принципами системного подхода
необходимо учесть максимальное число связей как между элементами системы, так
и по отношению к внешней среде. Ясно, что исполнитель-разработчик не всегда может,
да и не должен иметь профессиональные знания именно тех процессов, которые
имеют место в системе или, по крайней мере, являются главными. С другой
стороны совершенно обязательно наличие таких знаний у заказчика —
руководителя или администратора системы. Заказчик должен знать что надо
сделать, а исполнитель — специалист в области системного анализа — как
это сделать.
Обращаясь к
будущей вашей профессии можно понять, что вам надо научиться и тому и другому.
Если вы окажетесь в роли администратора, то к профессиональным знаниям по
учету и аудиту весьма уместно иметь знания в области системного анализа —
грамотная постановка задачи, с учетом технологии решения на современном
уровне будет гарантией успеха. Если же вы окажетесь в другой категории —
разработчиков, то вам не обойтись без “технологических" знаний в области
учета и аудита. Работа по системному анализу в экономических системах вряд ли
окажется эффективной без специальных знаний в области экономики. Разумеется,
наш курс затронет только одну сторону — как использовать системный подход в
управлении экономикой.
Модель изучаемой
системы в самом лаконичном виде можно представить в виде зависимости
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
|