Использование логических задач на уроках математики в начальной школе

сознании ребенка структуры порядка.

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж. Пиаже,

применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего,

исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного

детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления, которые

позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и

их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7 - 8 лет)

интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно

для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности

математики.

Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не

учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех стадий

умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 7 до 11 лет.

Сам Ж. Пиаже эти операторные структуры прямо соотносит с основными

математическими структурами. Он утверждает, что математическое мышление

возможно лишь на основе уже сложившихся операторных структур (и при этом

остается в тени объект этих операций). Это обстоятельство можно выразить и

в такой форме: не "знакомство" с математическими объектами и усвоение

способов действия с ними определяют формирование у ребенка операторных

структур ума, а предварительное образование этих структур (как "координации

действий") является началом математического мышления, "выделения"

математических структур.

Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд

существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по

математике. Прежде всего, фактические данные о формировании интеллекта

ребенка с 7 до 11 лет говорят о том, что ему в это время не только не

"чужды" свойства объектов, описываемые посредством математических понятий

"отношение - структура" но последние сами органически входят в мышление

ребенка.

Традиционные задачи начальной школьной программы по математике не

учитывают этого обстоятельства. Поэтому они не реализуют многих

возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка. В

этой связи практика внедрения в начальный школьный курс математики

логических задач должна стать нормальным явлением.

Материалы, имеющиеся в современной детской психологии, позволяют

положительно оценивать общую идею внедрения в учебные программы таких

задач, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических

структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще

нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них

связана с определением возрастного "порога", с которого осуществимо

обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по

этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью

сформировались операторные структуры (с 14 - 15 лет). Но если предположить,

что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри

того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания

операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше

(например, с 7 - 8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные

операции с высшим уровнем обратимости. В "естественных" условиях, при

обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только и

складываются к 13 - 15 годам. Но нельзя ли "ускорить" их формирование путем

более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует

прямого анализа математических структур?

Представляется, что такие возможности есть. К 7 - 8 годам у детей уже

в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по

соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны

"явно" и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к

уровню "формальных" операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется

при "самостоятельном" открытии этих свойств.

При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания

полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций,

приуроченном Ж. Пиаже к 7 - 11 годам, сами неразрывно связаны с формами

организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это

обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического

содержания, зачастую вообще не связанного с понятийным (теоретическим)

отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей

мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки

вещей.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные,

показывающие тесную связь операторных структур детского мышления и

общематематических и общелогических структур, хотя "механизм" этой связи

далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает

принципиальные возможности для построения учебного предмета,

развертывающегося по схеме "от простых структур - к их сложным сочетаниям".

И значительное место в таком построении должно принадлежать широкому

применению в процессе обучения младших школьников нестандартных логических

задач.

Глава II. Методика использования логических задач на уроках математики в

начальной школе

2.1 Интегрированное обучение и развитие мышления в простой игре

Общее соображение о важности широкого внедрения в школьный урок

математики нестандартных логических задач дополним описанием

соответствующих методических установок. Ниже рассмотрим методику

использования на уроках математики в начальной школе специального типа

логических задач, связанных с внедрением в сознание ребенка основных

понятий математической логики. Эта методика была разработана ведущим

отечественным методистом А.А. Столяром.

"Главная задача обучения математике, причем с самого начала, с первого

класса, - учить рассуждать, учить мыслить", - писал А.А. Столяр ([9], c.

11). Для достижения наилучших результатов в освоении учащимися основ

логического мышления и в изучении геометрических фигур А.А. Столяр

использовал в своей практике игру с кругами, рассмотрение которой

произведено ниже.

Игра с кругами, созданная на основе известных кругов Эйлера, позволяет

обучать классифицирующей деятельности, закладывает понимание логических

операций: отрицания - не, конъюнкции - и, дизъюнкции - или. Перечисленные

логические операции имеют важнейшее значение, так как различные их

комбинации образуют всевозможные и сколь угодно сложные логические

структуры. Из функциональных элементов, реализующих логические операции не,

и, или, конструируются схемы современных ЭВМ.

К концу дошкольного возраста у ребенка проявляются признаки

логического мышления. В своих рассуждениях он начинает использовать

логические операции и на их основе строить умозаключения. Очень важно в

этот период научить ребенка логически мыслить и обосновывать свои суждения.

Для игры с кругами нужны нарисованные на бумаге один, два или три

пересекающихся круга разного цвета, разноцветные обручи и наборы

геометрических фигур разных цветов и размеров, карточки с числами и буквами

русского алфавита. В принципе необязательно использовать круги, можно

работать с любыми замкнутыми плоскими фигурами. В этом случае замкнутые

области выделяются на монтажной панели, к примеру, цветными веревочками.

Возможна также работа на компьютере со специальной компьютерной программой.

Комплексное обучение, сочетающее игры с обручами со всем классом, игру за

столом в группе и индивидуальную работу за компьютером, является наиболее

эффективным.

Приведем несколько примеров заданий для игры "Круги". Предлагаемая

методика игрового обучения взята из работы ([9]). Она может использоваться

начиная с первого класса.

1. Задачи с одним кругом

Цель работы над задачами с одним кругом - учить классифицировать

предметы по одному признаку, понимать и применять логическую операцию

отрицания не.

Игра проводится со всем классом или группой. У учеников в руках наборы

квадратов, кругов и треугольников разных цветов и размеров. В центре

игровой площадки помещен обруч или на доске нарисован круг.

Учитель:

- Покажите треугольные фигуры.

- Покажите красные фигуры.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри круга.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) вне круга.

Ученики выборочно выполняют эти простые задания. Надо быть готовым к

тому, что здесь необязательно сразу будут правильные результаты. Понятия

"внутри" и "вне" у многих детей в этом возрасте еще не полностью

сформированы.

Учитель:

- Положите внутрь круга треугольные фигуры.

Ученики случайным образом (например, с закрытыми глазами) выбирают по

одной геометрической фигуре из своего набора и по очереди помещают их на

заданное место. Все дети наблюдают за действиями одноклассников, а в случае

ошибки поднимают руку и говорят: "Стоп". Ошибка обсуждается со всей

группой.

После того как все фигуры размещены, учитель задает два новых вопроса.

Учитель:

- Какие геометрические фигуры лежат внутри круга?

Ученик:

- Внутри круга лежат треугольные фигуры.

Этот ответ содержится в самом условии только что решенной задачи и

формулируется обычно без особого труда. Правильного ответа на второй вопрос

приходится ждать дольше.

Учитель:

- Какие геометрические фигуры лежат вне круга?

Правильный ответ ученика:

- Вне круга лежат нетреугольные фигуры.

Возможные неправильные ответы:

- вне круга лежат большие фигуры (но и внутри круга могут лежать

большие фигуры);

- вне круга лежат красные фигуры (но и внутри круга могут лежать

красные фигуры);

- вне круга лежат квадраты (не описывает все фигуры, лежащие вне

круга).

Ответ:

- вне круга лежат квадраты и круги - является правильным, но наша цель

в данном случае - охарактеризовать свойство фигур, лежащих вне круга, через

свойство фигур внутри круга.

Возможно, потребуется уточнение к условию задачи:

- Выразите свойство всех фигур, лежащих вне круга, одним словом.

Очень трудно бывает учителю удержаться от произнесения правильного

ответа самому. На уроке, проводимом А.А. Столяром, мы удивились, как он

умел ждать правильного ответа от детей. Если мы хотим заниматься развитием

логики у детей, а не добиваться механического запоминания, то спешить

нельзя.

В дальнейшем в игру вносятся варианты вопросов различной степени

трудности. В частности, можно задавать вопросы на подсчет количества фигур

с определенным признаком.

Эту игру нужно провести в простом варианте 3-5 раз перед переходом к

игре с двумя кругами, но возвращаться к ней с более сложными заданиями

следует неоднократно.

Примеры заданий.

При выполнении каждого из этих заданий очень важно не только правильно

разложить фигуры или карточки, но и правильно ответить на вопросы:

- Какие геометрические фигуры (буквы, числа...) лежат внутри круга?

- Какие геометрические фигуры (буквы, числа...) лежат вне круга?

1. В круг положите все красные фигуры.

Вне круга лежат некрасные фигуры.

2. В круг положите все круглые фигуры.

Вне круга лежат некруглые фигуры.

3. В круг положите все некруглые фигуры.

Скорее всего ученики сразу дадут правильный ответ: "Вне круга лежат

круглые фигуры". Однако возможен и ответ: "Вне круга лежат НЕ НЕкруглые

фигуры". Эта задача помогает ввести и обсудить понятие двойного отрицания.

Игру с кругами можно использовать и для изучения свойств чисел, букв,

звуков. Вот несколько таких примеров.

4. В круг положите все числа, большие 5.

Вне круга лежит и число 5, поэтому ответ "Вне круга лежат числа,

меньшие 5" будет неверным.

Правильный ответ: "Вне круга лежат числа не больше 5".

5. В круг положите все числа, делящиеся на 2 (3, 5...).

Эта задача может быть использована для изучения признаков делимости

чисел.

6. В круг положите все гласные буквы.

Вне круга кроме согласных букв лежат еще Ь и Ь, поэтому ответ "Вне

круга лежат согласные буквы" не будет верным.

Правильный ответ: "Вне круга лежат негласные буквы".

7. В круг положите все буквы, смягчающие согласные.

Не надо думать, что игра с одним кругом содержит только очень простые

задания. Попробуйте правильно ответить на вопрос: "Какие фигуры лежат вне

круга, если внутри круга лежат фигуры, являющиеся одновременно красными и

треугольными?" Сравните свой ответ с ответом в конце статьи.

Если ваши ученики освоили рассмотренные выше задачи, можно перейти к

следующему этапу игры с более сложными заданиями:

8. В круг положите все числа, делящиеся на 2 и на 3 одновременно.

Вне круга лежат числа, не делящиеся на 2 или не делящиеся на 3.

9. В круг положите все числа, делящиеся на 2 или на 3.

Вне круга лежат числа, не делящиеся ни на 2, ни на 3.

10. В круг положите все геометрические фигуры, которые являются

красными или треугольными.

Вне круга лежат геометрические фигуры, являющиеся одновременно

некрасными и нетреугольными.

11. В круг положите все гласные буквы, обозначающие один звук.

При работе с небольшими группами или при индивидуальной работе с

учащимися за столами, можно разобрать обратные задачи. В этом случае

геометрические фигуры, буквы или числа сначала раскладываются на столе или

закрепляются на монтажной панели, а затем ученикам дается задание с помощью

веревочки объединить все фигуры, соответствующие одному признаку.

Например:

Учитель:

- Проведите замкнутую линию так, чтобы внутри были только все

треугольники.

Замкнутая линия проводится с помощью тоненькой веревочки или

карандаша.

Далее можно обсуждать с учениками те же вопросы, что и приведенные

выше в задачах с кругами. Перед такой игрой необходимо предварительно

изучить и закрепить понятие замкнутой линии. Один из наиболее эффективных

способов усвоения этого понятия - работа в графическом редакторе, связанная

с заливкой областей. Достаточно один раз испортить свой рисунок из-за

заливки незамкнутой области, как это понятие твердо формируется в сознании

ребенка.

2. Задачи с двумя кругами

Цель работы над задачами с двумя кругами - развить умение

классифицировать предметы по двум свойствам, понимать и применять

логическую операцию конъюнкции, выражаемую союзом и.

У учащихся в руках тот же раздаточный материал, но теперь они уже

будут работать с двумя кругами или обручами разных цветов с пересекающимися

областями.

синий

красный

Перед решением задач необходимо выполнить ряд упражнений для выявления

замкнутых областей, ограниченных проведенными окружностями. Лучше всего

такие упражнения проводить на групповых занятиях с использованием обручей.

Учитель:

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри синего, но

вне красного круга.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри красного, но

вне синего круга.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) внутри синего и

внутри красного кругов.

- Прыгните и приземлитесь (поставьте мелом точку) вне синего и вне

красного кругов.

Ученики по очереди выполняют задания, наблюдая друг за другом. При

выполнении этих упражнений в первый раз ошибки встречаются довольно часто.

В случае ошибок важно добиться правильного объяснения от других учеников и

понимания этого объяснения всеми учениками.

Учитель:

- Обведите границу области внутри синего, но вне красного круга.

- Обведите границу области внутри красного, но вне синего круга.

- Обведите границу области внутри синего и внутри красного кругов.

- Обведите границу области вне синего и вне красного кругов.

После успешного выполнения подготовительных упражнений можно

приступить к решению задач.

1. В красный круг поместите все красные фигуры, а в синий круг

поместите все треугольные фигуры.

Так же как и при решении задач с одним кругом, ученики случайным

образом выбирают по одной геометрической фигуре из своего набора и по

очереди помещают их в одну из областей. Все дети наблюдают за действиями

одноклассников, а в случае ошибки поднимают руку и говорят: "Стоп". Ошибка

обсуждается со всей группой. Если в процессе выполнения задачи кто-то из

учеников совершил ошибку, которая осталась незамеченной, то учитель может

оставить ее до последнего обсуждения, но при решении первых задач учителю

лучше участвовать в игре вместе со всеми и самому произнести: "Стоп". При

первом решении задачи полезно также просить каждого ученика объяснить,

почему он кладет фигуру именно на это место.

Ученик:

- Красный круг должен лежать внутри красного круга, потому что он

красный, но вне синего круга, потому что он нетреугольный.

- Синий квадрат должен лежать вне обоих кругов (вне красного - потому

что он некрасный, вне синего - потому что нетреугольный).

- Красный треугольник должен лежать внутри обоих кругов (внутри

Страницы: 1, 2, 3