Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)

9. В треугольнике ABC угол A равен 30( и углы относятся, как 1:1:4.

Найти углы треугольника ABC.

10. В треугольнике ABC угол А равен 30(, и углы относятся как 1:2:6.

Найти углы треугольника ABC.

11. В треугольнике АВС угол А равен 70(, и два угла относятся как 5:6.

Найти углы треугольника АВС.

Первая задача традиционна для этой темы. Но вторая уже заставляет

задуматься о возможных границах ответов в таких задачах.

Шестая задача выводит на необходимость вариативных рассуждений, о чём

подсказка в скобках, тем самым готовит учащихся к вариативным рассуждениям

в следующей задаче. Для решения задачи 7 ученик должен сначала задуматься

об отношении каких именно углов идёт речь? Некоторые из этих вариантов

будут отброшены как противоречивые, но не сразу, а после необходимых

вычислений. Для ответа останется один из них. В задаче же 8 ни один из

рассмотренных вариантов не выведет на ответ. Аналогичные рассуждения

понадобятся и при решении задач 8–11.

II. Применение свойства углов для равнобедренного треугольника

1. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при его вершине

равен 28(.

2. Найти углы равнобедренного треугольника, если угол при его основании

равен 28(.

3. Может ли равнобедренный треугольник иметь углы величиной 55( и 70 (?

24( и 62(?

4. Найти углы равнобедренного треугольника, если один из них равен

100(.

5. Найти углы равнобедренного треугольника, если два его угла

соответственно равны: а) 55( и 70(; б) 40( и 110(; в) 20( и 20(; г)

60( и 60(.

6. Может ли биссектриса, медиана или высота треугольника разбивать его

на два равносторонних треугольника?

7. Найти углы равнобедренного треугольника, у которого высота,

проведённая к основанию, разбивает его на 2 треугольника так, что

соотношение острых углов каждого из полученных треугольников равно

1:2.

8. Доказать, что равнобедренный треугольник с углом 60( является

равносторонним.

9. Какими могут быть углы равнобедренного треугольника , если

биссектриса одного из углов разбивает треугольник на два

равнобедренных треугольника.

10. Доказать, что если любые две биссектрисы треугольника, пересекаясь,

образуют со сторонами равнобедренные треугольники, то данный

треугольник равносторонний.

11. Доказать, что отрезки высот равностороннего треугольника образуют со

сторонами этого треугольника 3 равнобедренных треугольника.

Последние две задачи этого раздела – привычные задачи школьного

учебника. Но решать такие задачи ученики не любят именно потому, что здесь

требуется выполнить перебор всех возможных вариантов, к чему они не очень

хорошо подготовлены. Поэтому предыдущие задачи в большей своей части и

содержат необходимость выполнения перебора вариантов, что, как нам

представляется, и должно подготовить учащихся к решению двух последних

задач.

III. Применение свойства углов для прямоугольного треугольника

1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 73(. Найти другой

его острый угол.

2. В прямоугольном треугольнике один угол равен 65(. Найти величины

остальных углов.

3. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 5 раз больше

другого. Найти эти углы.

4. Найти острые углы прямоугольного треугольника. если один из них на

32( больше другого.

5. Острые углы прямоугольного треугольника пропорциональны числам 5 и

7. Найти эти углы.

6. Разность острых углов прямоугольного треугольника равна 15(. Найти

эти углы.

7. Найти углы прямоугольного треугольника. если один из них в 5 раз

больше другого.

8. Найти углы прямоугольного треугольника, если один из них на 32(

больше другого.

9. Найти углы прямоугольного треугольника, если один из них в 3 раза

меньше другого.

10. Углы треугольника пропорциональны числам Х, 8 и 10. Каким может быть

число Х, если треугольник прямоугольный?

11. Два угла прямоугольного треугольника пропорциональны числам 2 и 3.

Найти углы треугольника.

12. Можно ли найти отношение сторон прямоугольного треугольника (хотя бы

некоторых), если известно, что один из его углов в 2 раза больше

другого?

Первые шесть задач этого раздела традиционные. Пять следующих (от

седьмой до одиннадцатой) внешне похожи на первые шесть, но содержат одну

неопределённость, существенно влияющую на характер решения: речь уже не

идёт об острых углах и потому к числу затронутых в условии углов придётся

теперь относить и прямой угол. Таким образом, задача получит несколько

возможных ответов. Последняя задача не может быть решена в полном виде до

изучения теоремы Пифагора, поэтому в седьмом классе возможно лишь её

частичное решение: либо равнобедренный прямоугольный треугольник с

отношением катетов 1:1, либо прямоугольный треугольник с углом 30(, где

отношение катета к гипотенузе равно 1:2.

IV. Применение свойства углов в треугольнике с дополнительными

построениями

1. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К.

Найти величину угла АКВ, если (А=50(, (В=100(.

2. В равнобедренном треугольнике угол равен 68(. Под каким углом

пересекаются биссектрисы двух других его углов?

3. Под каким углом пересекаются биссектрисы равностороннего

треугольника? высоты равностороннего треугольника?

4. Треугольник имеет углы 36( и 74(. Под каким углом пересекаются

высоты, проведенные из вершин этих углов? Под каким углом

пересекаются биссектрисы этих углов?

5. В треугольнике АВС (АВ=ВС) проведена биссектриса СМ. Найти углы

треугольника АВС, если величина угла АМС равна 120(.

6. В треугольнике АВС (А=40(, (С=70(, биссектрисы углов А и С

пересекаются в точке К, (АКС=125(. Найти (В.

7. В треугольнике АВС (А=30(, (С=80(, биссектрисы углов А и В

пересекаются в точке К, (АКВ=135(. Найти угол В.

8. Под каким углом пересекаются неравные биссектрисы равнобедренного

треугольника, один из углов которого 96(? 90(? 86(?

9. В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Найти

углы треугольника АВС, если (АМС=64(.

10. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке К.

Найти величину угла АКВ, если величина угла АСВ равна 170(.

11. Найти величину угла треугольника. если биссектрисы двух других его

углов пересекаются под углом 100(.

12. В каком треугольнике биссектрисы пересекаются под прямым углом?

13. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К.

(BАC=70(. Найти угол АКВ.

В задачах этого раздела также запланирован переход от традиционных

задач к задачам, требующим анализа условия и рассмотрения различных

вариантов.

V. Задачи с внешними углами треугольника

1. Внешний угол треугольника равен 130(, один из не смежных с ним

внутренних 70(. Найти углы треугольника.

2. Углы треугольника равны 47(, 69( и 64(. Найти внешние углы

треугольника.

3. Внешний угол треугольника равен 130(, а два внутренних 60( и 70(.

Найти углы треугольника.

4. Внешний угол треугольника равен 130(, а два внутренних – 30( и 60(.

Найти углы треугольника.

5. Один из внутренних углов прямоугольного треугольника равен 47(, а

один из внешних – 137(. Найти величины остальных внутренних углов.

6. В прямоугольном треугольнике внутренний угол равен 47(, внешний

133(. Найти величины остальных внутренних углов.

7. В прямоугольном треугольнике внутренний угол равен 47(, внешний

143(. Найти величины остальных внутренних углов.

8. Найти углы равнобедренного треугольника. если один из его внешних

углов равен 30(.

9. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 107(. Найти

его внутренние углы.

10. Один из внешних углов треугольника равен 130(, а один из внутренних

– 46(. Найти другие внутренние и внешние углы треугольника.

11. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 96(. Найти

внутренние углы треугольника.

12. Сумма внешних углов с вершинами А и В равна 186(. Найти величину

угла С треугольника АВС.

13. Сумма двух внешних углов с вершинами А и В равна 172(. Найти

величину угла С треугольника АВС.

14. Внешний угол прямоугольного треугольника в 7 раз больше внутреннего

с той же вершиной. Найти углы треугольника.

15. Внешний угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше

внутреннего. Найти углы треугольника.

16. Найти сумму внешних углов прямоугольного треугольника (по одному при

каждой вершине).

17. Разность двух внешних углов треугольника равна третьему внешнему

углу. Найти внутренние углы треугольника.

18. Найти отношение внешних углов равнобедренного треугольника, если

отношение его внутренних углов 2:5.

19. Под каким углом пересекаются две прямые, если при пересечении их

третьей сумма внутренних односторонних углов равна 215(?

20. Один из углов треугольника в 3 раза больше другого, а разность

внешних углов при этих же вершинах равна 80(. Найти углы

треугольника.

21. Один из углов треугольника в 2 раза больше другого, а разность

внешних углов при этих же вершинах равна 80(. Найти углы

треугольника.

22. Внешние углы треугольника пропорциональны числам 3, 7, 8. Каким

числам пропорциональны его внутренние углы?

23. Прямые a и b пересекаются под углом 85(. Прямая c пересекает a и b

так, что разность внутренних односторонних углов равна 75(.

Определить вид полученного треугольника.

24. Прямые a и b пересекаются под углом 75(. Прямая c пересекает a и b

так, что разность внутренних односторонних углов равна 85(.

Определить вид полученного треугольника.

25. Определить, под каким углом пересекаются прямые c и d, если прямая а

пересекает их так, что сумма внутренних односторонних углов равна

54(.

26. Прямые k и l пересекаются под углом 33(. Прямая р пересекает их так,

что один из внутренних односторонних углов в 2 раза больше другого.

Найти углы треугольника, образованного этими прямыми.

27. Прямые a и b пересекаются под углом 40(. Прямая р пересекает их так,

что в получившемся треугольнике углы относятся, как 1:7:28. Найти

углы треугольника, образованного этими прямыми.

28. Под каким углом пересекаются прямые c и d, если прямая а пересекает

их так, что разность внутренних односторонних углов равна 90(

Из задач этого раздела остановимся на шести последних задачах.

Возможные здесь варианты появляются несколько неожиданно для учащихся.

Например, в задаче 23 для построения прямой с возможны две ситуации (см.

рисунки):

[pic] [pic]

|В этом случае имеем: |Возможно ещё и такое размещение |

|85(+х(+х(+75(=180( |прямых. |

|Здесь получаем: |180(–85(+х(+х(+75(=180( |

|х=10(. |х=5(. |

Задача имеет два ответа: 10( и 5(.

В задаче 24 также возможны два варианта построения прямых а, b и с

(см. рисунки):

[pic] [pic]

|В данном случае имеем: |Для такого размещения: |

|75(+х(+х(+85(=180(. |180(–75(+х(+х(+85(=180(. |

|Отсюда: |Отсюда: |

|х=10(. |х=–5(, чего не может быть. |

Как видим, перестановка в условии задачи двух числовых данных (75( и

85() приводит к тому, что в ответе получается возможным лишь одно значение:

х=10(.

Вовсе необязательно предлагать эти задачи всем учащимся. Для учащихся

с преимущественной оценкой "3" многие задачи из второй части каждого

раздела недоступны и необязательны. В то же время для отлично успевающих

учащихся некоторые изначальные задачи очень просты и потому их можно

пропускать. Из предложенного перечня можно выделить набор задач, минимально

необходимый для оценки "3", потом – набор задач, минимально необходимый для

оценки "4", наконец – набор задач, минимально необходимый для оценки "5"

(первый, второй и третий уровни освоения указанной темы). Видимо, можно

назвать задачи из этого перечня, которые превышают и третий уровень, т.е.

не являются обязательными (но весьма желательными) для получения оценки

"5".

Так, задачи первого уровня сложности рассчитаны на прямое применение

некоторого алгоритмического правила, а также применение этого правила с

небольшими вариациями. Задачи этого уровня не представляют сложности для

большинства учащихся, потому что подобных этим задач достаточно много

решается на уроках. Задачи неопределённые здесь не рекомендуются, а задачи

переопределённые допускаются в случае несложного выявления избыточных

данных (о наличии которых учащихся в большинстве случаев следует

предупреждать).

Задачи второго уровня сложности могут иметь следующие отличительные

черты:

. условие задачи избыточно, но не содержит противоречия и задача

решается однозначно. Для решения задач этого типа необходимо из всех

данных задачи выбрать необходимые, и применить их.

. условие задачи содержит противоречие (состав условия задачи может

быть как полным, так и избыточным).

. условие задачи не содержит никаких из рассмотренных нюансов с

данными (состав условия полный), но по сравнению с задачами первого

уровня приём, применяемый для решения, более сложный (правило

применяется не "в лоб").

Задачи третьего уровня сложности отличаются ещё большим разнообразием.

Для решения задач этого уровня от учеников требуется и больший объём знаний

(при решении задачи приходится использовать комбинацию приёмов и навыков,

изученных раньше), и наличие навыка вариативных рассуждений, которого

теперешним ученикам в значительной мере не хватает. Задачи этого уровня

вдобавок к сложности приёмов решения могут иметь в условии

неопределённость, приводящую к неопределённому ответу.

Также стоит отдельно сказать несколько слов о задачах, которые по

своей сложности стоят выше задач третьего уровня. Эти задачи имеют в своём

условии неопределённость, но эта неопределённость подразумевает в решении

задачи бесконечное множество ответов. Чаще всего такая формулировка задачи

пугает ученика и он говорит, что задача не имеет решения, потому что не

хватает данных, хотя можно было бы провести решение данной задачи и

получить довольно конкретный результат.

Заключение

Подводя итог проделанной работе, отметим следующее.

О целесообразности введения неопределённых и переопределённых задач в

школьный курс обучения убедительно сказано авторитетными методистами,

специалистами в области математического образования. Инерционная школа пока

ещё не учитывает этой целесообразности, но сдвиги в указанном направлении

уже есть.

Бесспорно и то, что дополнение традиционных школьных наборов задач

задачами неопределёнными и переопределёнными (в работе использован

обобщающий термин для обоих видов задач – задачи с «аномальным» условием

или просто «аномальные» задачи) вызовет необходимость особых методических

подходов к обучению решению таких задач, подходов, расширяющих возможности

учащихся в решении задач вообще, углубляющих и усовершенствующих их навыки

поиска решения любой задачи, а в итоге развивающих их мышление. Попытки

осознания таких подходов предприняты в данной работе. На одном из примеров

показан возможный вариант расширения традиционного задачника, его

дополнения задачами с «аномальным» условием.

Разумеется, работа не может претендовать на полноту и завершённость,

поскольку затронутая проблема достаточно глубинна и объёмна и требует не

одного года кропотливой работы не одного человека.

Однако автор надеется, что хотя бы небольшой шаг в нужном направлении

им сделан.

По материалам данного исследования подготовлена (в соавторстве)

статья, опубликованная в журнале «Матэматыка: праблемы выкладання» № 2 за

1999 год.

Список использованной литературы:

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7–9 классов средней школы. –

М.: Просвещение, 1990.

2. Буловацкий М.П. Разнообразить виды задач // Математика в школе. – 1988.

– № 5, с.

3. Булавацкі М., Макавецкі І. Аб задачах, якіх няма ў школьных падручніках

// Матэматыка: праблемы выкладання. – 1999. – № 2, с. 59 – 64.

4. Дегтянникова И.Н. Остроугольный или тупоугольный // Математика в школе.

– 1998. – № 5, с. 43.

5. Игнатенко В.З. Сюрпризы биссектрисы // Математика в школе. – 1998. – №

5, с. 42.

6. Каплан Б.С. Методы обучения математике. – Минск: Народная асвета, 1981.

7. Колмогоров А. Н . Математика ( наука и профессия. – М.: Наука,1988.

8. Крупич В.И. Структура и логика процесса обучения математике в средней

школе.

9. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. – М.:

Просвещение, 1968.

10. Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики. – М.: Издательство МГУ, 1962.

11. Математическое образование: современное состояние и перспективы (к

80–летию со дня рождения профессора А.А.Столяра): Тезисы докладов

международной конференции. – Могилёв: МГУ им. А.А.Кулешова, 1999.

12. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. – М.:

Педагогика, 1975.

13. Махмутов М.И. Проблемное обучение. – М.: Педагогика, 1975.

14. Метельский Н .В. Дидактика математики. Общая методика и её проблемы. –

Минск: Издательство БГУ, 1982.

15. Погорелов А.В. Геометрия 7–11. – М.: Просвещение, 1998.

16. Пойа Д. Как решать задачу. – Львов, 1991.

17. Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976.

18. Рогановский Н.М. Геометрия 7–9. – Мн.: Народная асвета, 1997.

19. Самарин О.А. Очерки психологии ума. Особенности умственной деятельности

школьников. – М.: Издательство АПН, 1972.

20. Столяр А.А. Педагогика математики. – Минск: Вышэйшая школа, 1986.

21. Столяр А.А. Как математика ум в порядок приходит. – Минск: Вышэйшая

школа, 1991.

22. Фридман Л.М. Психолого–педагогические основы обучения математике в

школе: – М.: Просвещение, 1983.

23. Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: – М.:

Просвещение, 1989.

24. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе – М.: Просвещение, 1978.

25. Эсаулов А.Ф. Проблемы решения задач в науке и технике. – Л.:

Издательство Ленинградского университета, 1979.

Министерство образования Республики Беларусь

Могилёвский государственный университет им. А.Кулешова

кафедра методики преподавания математики

Дипломная работа

«Неопределённые и переопределённые задачи

(использование задач с «аномальным» условием

в процессе обучения математике)»

студента группы «А» V курса

физико–математического факультета

Маковецкого Ильи Ивановича

| | |

| |Научный руководитель: |

| |Войтович Ф.С., |

| |старший преподаватель кафедры методики |

| |преподавания математики |

Могилёв 1999

-----------------------

[1] Слово "нестандартный" взято нами в кавычки, поскольку мы считаем, что

соответствующий подход к решению задач должен стать стандартом для каждого

ученика.

Страницы: 1, 2, 3, 4