МЕНЮ


Фестивали и конкурсы
Семинары
Издания
О МОДНТ
Приглашения
Поздравляем

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ


  • Инновационный менеджмент
  • Инвестиции
  • ИГП
  • Земельное право
  • Журналистика
  • Жилищное право
  • Радиоэлектроника
  • Психология
  • Программирование и комп-ры
  • Предпринимательство
  • Право
  • Политология
  • Полиграфия
  • Педагогика
  • Оккультизм и уфология
  • Начертательная геометрия
  • Бухучет управленчучет
  • Биология
  • Бизнес-план
  • Безопасность жизнедеятельности
  • Банковское дело
  • АХД экпред финансы предприятий
  • Аудит
  • Ветеринария
  • Валютные отношения
  • Бухгалтерский учет и аудит
  • Ботаника и сельское хозяйство
  • Биржевое дело
  • Банковское дело
  • Астрономия
  • Архитектура
  • Арбитражный процесс
  • Безопасность жизнедеятельности
  • Административное право
  • Авиация и космонавтика
  • Кулинария
  • Наука и техника
  • Криминология
  • Криминалистика
  • Косметология
  • Коммуникации и связь
  • Кибернетика
  • Исторические личности
  • Информатика
  • Инвестиции
  • по Зоология
  • Журналистика
  • Карта сайта
  • Производная в курсе алгебры средней школы

    Производная в курсе алгебры средней школы

    Южно-Сахалинский Государственный Университет

    Кафедра математики

    Курсовая работа

    Тема: Производная в курсе алгебры средней школы

    |Автор: |Меркулов М. Ю. |

    |Группа: |411 |

    |Руководитель: |Чуванова Г. М. |

    |Оценка: | |

    Южно-Сахалинск

    2002г

    Введение

    В первой главе курсовой работы речь пойдет о понятии производной, ее

    истории и областях ее применения. Во второй главе будет детально рассмотрен

    курс изучения производной трех учебников по алгебре и началам анализа для

    10-11кл. : Алимова, Башмакова и под редакцией Колмогорова. Цель курсовой

    работы – раскрыть понятие производной, рассмотреть систему ее изучения в

    учебниках средней школы, охарактеризовать особенности изложения материала и

    дать рекомендации по поводу использования этих учебников.

    Производная и ее применение

    1. Понятие производной

    1-1. Исторические сведения

    Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17

    столетия на основе двух задач:

    1) о разыскании касательной к произвольной линии

    2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

    Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского

    математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в

    ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается

    наибольшая дальность полета снаряда.

    В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась

    кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться

    в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого

    Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли

    Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

    1-2. Понятие производной

    Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в

    промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка

    Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение

    ?y = f(x + ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при

    ?x > 0, называется производной от функции f(x).

    y'(x)=[pic]

    1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

    |C' = 0 |(xn) = nxn-1 |(sin x)' = cos x |

    |x' = 1 |(1 / x)' = -1 / x2|(cos x)' = -sin x |

    |(Cu)'=Cu' |(?x)' = 1 / 2?x |(tg x)' = 1 / cos2 x |

    |(uv)' = u'v + uv' |(ax)' = ax ln x |(ctg x)' = 1 / sin2 x |

    |(u / v)'=(u'v - uv') |(ex)' = ex |(arcsin x)' = 1 / ? (1-|

    |/ v2 | |x2) |

    | |(logax)' = (logae)|(arccos x)' = -1 / ? |

    | |/ x |(1- x2) |

    | |(ln x)' = 1 / x |(arctg x)' = 1 / ? (1+ |

    | | |x2) |

    | | |(arcctg x)' = -1 / ? |

    | | |(1+ x2) |

    2. Геометрический смысл производной

    2-1. Касательная к кривой

    Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к

    точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN,

    если точку N неограниченно приближать по кривой к M.

    Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При

    некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на

    кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ?x, его

    значению соответствует значение функции y0 + ?y = f(x0 + ?x).

    Соответствующая точка - N(x0 + ?x, y0 + ?y). Проведем секущую MN и

    обозначим ? угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox.

    Из рисунка видно, что ?y / ?x = tg ?. Если теперь ?x будет приближаться к

    0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться

    вокруг точки M, а угол ? - меняться. Если при ?x > 0 угол ? стремится к

    некоторому ?, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным

    направлением оси абсцисс угол ?, будет искомой касательной. При этом, ее

    угловой коэффициент:

    [pic]

    То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно

    тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox

    касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).

    Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное

    определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция

    задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут

    равны частным производным f по x и y.

    2-2. Касательная плоскость к поверхности

    Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость,

    содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности,

    проходящим через M - точку касания.

    Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо

    обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности

    некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями

    x = ?(t); y = ?(t); z = ?(t).

    Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в

    тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство

    инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение

    по t:

    [pic]

    Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид:

    [pic]

    Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим

    дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:

    F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0

    и для частного случая z = f(x, y):

    Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0)

    Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a)

    гиперболического параболоида

    [pic]

    Решение:

    Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1

    Уравнение искомой плоскости:

    Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a

    3. Использование производной в физике

    3-1. Скорость материальной точки

    Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении

    материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент

    времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ?t = t - t0 и

    вычислим приращение пути: ?s = f(t0 + ?t) - f(t0). Отношение ?s / ?t

    называют средней скоростью движения за время ?t, протекшее от исходного

    момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при ?t > 0.

    Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ?t) - это

    величина =?v / ?t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент

    времени t будет предел среднего ускорения:

    [pic]

    То есть первая производная по времени (v'(t)).

    Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s

    = A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Определить время после

    начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.

    Решение:

    v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t =

    2;

    1,8 = 0,18t; t = 10 c

    3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре

    Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T1 -

    T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 - Q,

    причем отношение

    [pic]

    для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного

    вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q =

    f(T). Тогда ?Q = f(t + ?T) - f(T). Отношение

    [pic]

    называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ?T], а предел этого

    выражения при ?T > 0 называется теплоемкостью данного вещества при

    температуре T.

    3-3. Мощность

    Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на

    него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс

    обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится

    понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы,

    вводят понятие мощности:[pic].

    4. Дифференциальное исчисление в экономике

    4-1. Исследование функций

    Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа

    математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является

    изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком

    направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при

    введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при

    повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное

    оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных

    задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных,

    которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В

    экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение

    показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль,

    максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель

    представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким

    образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению

    экстремума функции.

    По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в

    ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по

    одному из достаточных условий экстремума:

    1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0.

    Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -,

    то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не

    меняет знак, то в этой точке нет экстремума.

    2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки

    x0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ? 0, то в точке x0 функция f(x0) имеет

    максимум, если f ''(x0) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0.

    Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график

    функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на

    этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).

    Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли

    которой может быть смоделирована зависимостью:

    ?(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10

    Решение:

    ?'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 > qextr = 4

    При q < qextr = 4 > ?'(q) < 0 и прибыль убывает

    При q > qextr = 4 > ?'(q) > 0 и прибыль возрастает

    При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

    Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может

    производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) =

    p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить,

    а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же

    фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет

    выпуск на пределе своих производственных мощностей.

    4-2. Эластичность спроса

    Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел

    [pic]

    Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая

    эластичность спроса ED - это величина, характеризующая то, как спрос

    реагирует на изменение цены. Если |ED|>1, то спрос называется эластичным,

    если |ED|f

    (x0) при x>x0, то функцию f (x) называют непрерывной. Вообще, в этом пункте

    автор очень углубляется в математический анализ и довольно скрупулезно

    разбирает свойство непрерывности и предельный переход. У Башмакова

    предельный переход объясняется на примерах, не вдаваясь в подробности.

    3. Вычисление производной

    3-1. Правила дифференцирования

    Напомним основные правила дифференцирования:

    сумма: (u + v)’ = u’ + v’

    коэффициент: (Cu)’ = Cu’

    произведение: (uv)’ = u’v + uv’

    частное: (u / v)'=(u'v - uv') / v2

    В учебниках Башмакова и Колмогорова все эти формулы выводятся, каждый шаг

    объясняется. Учебник Алимова содержит доказательства только двух первых

    формул, зато к каждой формуле есть по 1-2 примера.

    В учебнике Колмогорова рассматривается формула производной сложной функции

    (гл 2, §16):

    f(g(x))’ = f ’(g(x))g’(x)

    Вначале автор дает определение сложной функции, затем выводит формулу и

    приводит несколько примеров нахождения производной сложных функций. Алимов

    решил упростить данный раздел, заменив формулу сложной функции на ее

    частный случай – линейную замену аргумента:

    (f(kx + b))’ = kf ‘(kx + b)

    Эта формула, конечно, гораздо менее емкая, зато ее доказательство короче и

    менее абстрактно. Башмаков же включил в учебник обе формулы.

    3-2. Производные элементарных функций

    Проблема заключается в том, что если тема «производные» дается перед

    рассмотрением каких-либо элементарных функций, то производные этих функций

    придется рассматривать позже, что может отвлечь от сути. С другой стороны,

    помещая производные в самый конец учебника, сложность материала может

    повышаться неравномерно, что может сказаться на успеваемости.

    Башмаков посвящает вычислению производной через приращения целый пункт, где

    выводит 5 формул (для линейной функции, квадрата, куба, гиперболической

    функции, корня). С этого пункта и начинается собственно вычисление

    производных. Далее, после рассмотрения правил дифференцирования, выводится

    формула производной степени. Производные показательной и логарифмической

    функций рассматривается в соответствующей главе, а производные

    тригонометрических функций вовсе исключены из курса.

    В учебнике Колмогорова формулы производных показательной и логарифмической

    функций также выводятся и применяются в решении задач позже. Однако,

    производные тригонометрических функций, уже изученных к этому моменту,

    даются в главе «производная» в виде отдельного пункта. Кстати говоря, в

    ходе вывода формулы производной синуса, доказывается следующее утверждение:

    lim (sin (x) / x) = 1

    Доказательство усложнено тем, что переменная выступает как угол и длина,

    необходим переход от длины дуги к длине отрезка. Он обосновывается довольно

    расплывчато, но объяснения интуитивно вполне понятны. Имея в распоряжении

    формулу производной синуса, нетрудно найти производные остальных функций.

    Алимов рассматривает степенную функцию перед правилами дифференцирования, а

    формулы производных других элементарных функций (показательной,

    логарифмической, тригонометрических) – после и в отдельном пункте.

    Доказательство приводится только для синуса, но для каждой функции есть

    решенная задача. Удобство заключается в том, что все элементарные функции и

    правила дифференцирования рассматриваются последовательно и нет

    необходимости возвращаться к уже пройденному материалу.

    4. Исследование функций

    4-1. Возрастание и убывание функций

    В начале раздела о исследовании функций в учебнике Башмакова приводятся две

    теоремы: о том, что функция имеющая на промежутке производную, тождественно

    равную 0, постоянна на этом промежутке и признак монотонности функции.

    Затем идет формулировка признаков возрастания / убывания функции – они

    находятся в начале разделов учебников Алимова и Колмогорова. Колмогоров

    доказывает эти признаки на основе формулы Лагранжа:

    Алимов доказательство не приводит. Затем идут примеры, наглядно

    показывающие, как находить промежутки возрастания / убывания.

    4-2. Экстремумы функций

    Основополагающими теоремами в этом пункте являются: необходимое условие

    экстремума (производная в точке экстремума должна быть равна 0), признаки

    максимума / минимума функции. Согласно просматривающемуся стилю авторов,

    Колмогоров методично доказывает каждую теорему, Алимов делает упор на

    рассмотрение задач, а Башмаков по возможности в доказательствах и

    рассуждениях обходится без формул, предпочитая рассказ о свойствах

    производной.

    Замечу, что Башмаков выделил пункт для рассмотрения т. н. особых точек. Это

    точки, в которых производная не существует, но функция может быть

    непрерывной. Колмогоров рассматривает их в пункте «применение

    непрерывности» . Кроме того, там же рассматривается важнейший метод

    исследования поведения функции – метод интервалов.

    4-3. Схема исследования функций

    Колмогоров:

    1) Нахождение области определения

    2) Проверка на четность / нечетность

    3) Нахождение точек пересечения с осями

    4) Нахождение промежутков знакопостоянства

    5) Нахождение промежутков возрастания и убывания

    6) Нахождение точек экстремума и значений функции в этих точках

    7) Исследование поведения функции в окрестностях «особых» точек и

    бесконечности

    Башмаков и Алимов исследуют функцию только на монотонность.

    5. Приложения производной

    5-1. Применение производной в физике

    Ранее уже был рассмотрен механический смысл производной – как найти

    скорость (ускорение – производная от скорости – вторая производная

    функции). Учебник Башмакова показывает, как производная используется также

    при нахождении таких физических характеристик, как сила, импульс,

    кинетическая энергия. Разъясняется суть понятия дифференциала:

    дифференциалом функции называют произведение производной на приращение

    аргумента. Рассказывается, как с помощью дифференциала можно найти заряд,

    работу, массу тонкого стержня, теплоту.

    Колмогоров также приводит примеры использования производной в физике:

    нахождение мощности, линейной плотности. Также он объясняет с помощью

    производной принцип действия параболических телескопов.

    5-2. Приближенные вычисления

    Формула для приближенных вычислений разбирается в учебнике Колмогорова и

    Башмакова. Авторы указывают на сходство графиков функции и касательной и

    значения будут ненамного различаться при достаточно малом приращении. Эта

    тема носит практический характер. Рассмотрены несколько примеров.

    Заключение

    Принимая в расчет вышеизложенное, я могу дать такую характеристику этим

    учебникам:

    Учебник под редакцией Колмогорова характеризуется большим объемом материала

    по производной и высокой степенью детальности. Как следствие – высокий

    уровень подготовки и некоторая сложность в понимании. Этот учебник по праву

    наиболее часто используется в обычных школах.

    Учебник Алимова делает больший упор на практическую сторону. В тексте много

    примеров решения задач, некоторые пункты даже целиком состоят из них. К

    каждому пункту прилагается большой набор задач для самостоятельного

    решения. Доказательства – слабая сторона учебника, т. к. они кратки, а

    зачастую их нет совсем. Некоторые аспекты темы опущены.

    В учебнике Башмакова материал излагается крайне сжато, но последовательно и

    доказательства более просты и понятны. Все абстрактные математические

    понятия находят свои житейские прототипы и рассматриваются на конкретных

    примерах. Учебник больше подходит для самостоятельного изучения материала.

    Литература

    |М. Я. Выгодский |Справочник по высшей математике |

    |И. Н. Бронштейн, |Справочник по математике для инженеров и |

    |К. А. Семендяев |учащихся ВТУЗов |

    |И. М. Уваренков, |Курс математического анализа,т.1 |

    |М. З. Маллер | |

    |В. А. Дударенко, |Математический анализ |

    |А.А. Дадаян | |

    |Н. С. Пискунов |Дифференциальное и интегральное исчисления|

    |Т. И. Трофимова |Курс физики |

    |О. О. Замков |Математические методы в экономике |

    |А. В. Толстопятенко | |

    |Ю. Н. Черемных | |

    |А. С. Солодовников |Математика в экономике |

    |В. А. Бабайцев | |

    |А. В. Браилов | |

    |И. Г. Шандра | |

    |Под редакцией |Алгебра и начала анализа |

    |А.М Колмогорова | |

    |Ш. А. Алимов |== << == |

    |Ю. М. Колягин | |

    |Ю. В. Сидоров | |

    |Н. Е. Федорова | |

    |М. И. Шабунин | |

    |М. И. Башмаков |== << == |

    Содержание:

    Введение

    Глава 1. Производная и ее применение

    1. Понятие производной

    1-1. Исторические сведения

    1-2. Понятие производной

    1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

    2. Геометрический смысл производной

    2-1. Касательная к кривой

    2-2. Касательная плоскость к поверхности

    3. Использование производной в физике

    3-1. Скорость материальной точки

    3-2. Теплоемкость при данной температуре

    3-3. Мощность

    4. Дифференциальное исчисление в экономике

    4-1. Исследование функций

    4-2. Эластичность спроса

    4-3. Предельный анализ

    5. Производная в приближенных вычислениях

    5-1. Интерполяция

    5-2. Формула Тейлора

    5-3. Приближенные вычисления

    Глава 2. Производная в школьном курсе алгебры

    1. Структура учебников

    2. Понятие производной

    2-1. Определение производной

    2-2. Геометрический смысл производной

    2-3. Непрерывность функции и предельный переход

    3. Вычисление производной

    3-1. Правила дифференцирования

    3-2. Производные элементарных функций

    4. Исследование функций

    4-1. Возрастание и убывание функций

    4-2. Экстремумы функций

    4-3. Схема исследования функций

    5. Приложения производной

    5-1. Применение производной в физике

    5-2. Приближенные вычисления

    Заключение

    Список использованной литературы

    -----------------------

    x

    x+?x

    ?x

    ?y

    M

    ?

    ?

    N

    [pic]


    Приглашения

    09.12.2013 - 16.12.2013

    Международный конкурс хореографического искусства в рамках Международного фестиваля искусств «РОЖДЕСТВЕНСКАЯ АНДОРРА»

    09.12.2013 - 16.12.2013

    Международный конкурс хорового искусства в АНДОРРЕ «РОЖДЕСТВЕНСКАЯ АНДОРРА»




    Copyright © 2012 г.
    При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна.