Развитие самостоятельности школьников при обучении математики

имеющегося в их опыте (полученном при решении ранее встречающихся задач)

общего или частного метода, способа или приема решения задач. То есть

способы решения одной задачи оказывают существенное влияние на

самостоятельные поиски решения другой.

Вспомогательные задачи являются своеобразными указаниями к

самостоятельной деятельности ученика при решении основной задачи. Они

отличаются от указаний и готовых решений, имеющихся в большинстве пособий

по математике для самостоятельной подготовки к конкурсным экзаменам, тем,

что не содержат рецептов, не навязывают способ решения автора, не дают

готового решения. Указание (подсказка) во вспомогательной задаче

заключается в ее решении: нужно сначала самостоятельно решить

вспомогательную задачу, а затем обнаружить содержащуюся в ней подсказку.

Обычно для ученика одной вспомогательной задачи оказывается недостаточно.

Тогда дается вторая вспомогательная задача и т. п. Образуется серия

вспомогательных задач.

Схематично основная задача А вместе с серией вспомогательных задач A1,

A2, ..., An изображается так: А: A1 —A2 — ... —An.

Самостоятельная деятельность ученика начинается с решения задачи А. Если

он за определенное время не сможет решить ее, то приступает к решению

первой вспомогательной задачи А1: А—А1. В случае решения задачи А1 ученик

снова возвращается к задаче А: А1—А. Если задача А снова не решается, то он

обращается к задаче А2. Решив задачу A2, возвращается к задаче A и т. д.

Возможен случай, когда школьник не сможет решить вспомогательную задачу А1.

Тогда он приступает к решению задачи А2. Если и A2 не решается, то

переходит к задаче A3 и так до An. От задачи An ученик последовательно

возвращается к задаче

А: An —An-1 — ... —A1—A. Возможна и другая последовательность решения

задач, что можно изобразить схемами:

A —A1 — A—A2 —A — A3 —A или

A —A1 — A—A2 —A1 — A—A3 —A2 —A1—A и т. д.

Составление вспомогательных задач наталкивается на серьезные трудности.

Для решения задачи Л может соответствовать и другая серия вспомогательных

задач, отличная от указанной, например В1, В2, ..., Bk Трудность

заключается в отборе лучшей (оптимальной) серии для конкретного ученика.

Далее, серия может быть и нелинейна. Это получается тогда, когда для

решения задачи A нужно знать способы решения сразу двух (или нескольких)

задач. Схематическое изображение этой ситуации таково:

A:[pic]

Трудность заключается в том, что одна и та же серия вспомогательных

задач для разных учащихся имеет различную эффективность: для одних серия

слишком длинна (содержит много задач), для других коротка, одни и те же

задачи для одних слишком легки, для других трудны и т. п. Кроме того,

вспомогательные задачи навязывают ученику определенный путь решения. Но и

при подсказке учителя также навязывается ученику способ решения, намеченный

учителем.

Опыт применения вспомогательных задач на кружковых и факультативных

занятиях по математике показывает, что школьники, научившись самостоятельно

решать задачи с помощью вспомогательных задач, предложенных учителем,

замечают, что среди задач A1 —A2 — ... —An имеются и такие, которые либо

уже были решены ими ранее, либо решаются способами (приемами), известными

им. Это наталкивает учащихся на мысль, что при решении новой задачи следует

самостоятельно отыскивать среди уже решенных ранее задач родственные данной

и использовать их в качестве вспомогательных. Так воспитывается умение при

самостоятельном решении задач возвращаться к своему опыту и применять его

при продвижении вперед. Последнее является важным звеном умения решать

задачи, умения самостоятельно приобретать новые знания.

Курсы, построенные на задачах, не содержат деления материала на

теоретическую и практическую части. Сами задачи — это и есть изучаемый

курс. Поэтому и содержание задач, и способы решения их направлены как на

вооружение учащихся теоретическими знаниями, так и на выработку умений и

закрепление навыков. Рассматриваемые определения обычно включаются в

содержание задач. Возможна формулировка определений и отдельно от задач.

Теоремы имеют тоже вид задач. Если теорема большая или сложная, то она

разбивается на последовательность таких задач, что решение предыдущей

облегчает решение последующей, а совокупность этих решений дает

доказательство теоремы.

Любая тема курса состоит из серии задач, которые должны быть полностью

решены каждым учеником, так как только в этом случае достигается полное

усвоение определенной математической теории. Однако в индивидуальные

задания могут быть включены задачи подготовительные, вспомогательные или

задачи для самоконтроля, которые не обязательны для всех учеников.

Перед изучением темы организуется пропедевтическая работа, ставящая

своей целью подготовить учеников к самостоятельному активному изучению

материала. В частности, здесь выявляются и ликвидируются пробелы в знаниях

и формируются необходимые предварительные представления. Затем учитель в

форме лекции или беседы вводит учеников в тему, намечает круг вопросов,

подлежащих изучению, формулирует сам или подводит учащихся к

самостоятельной формулировке первой проблемной задачи курса.

Основным этапом занятий является самостоятельное решение школьниками

задач. Учащимся в процессе самостоятельной работы разрешается пользоваться

справочниками и конспектами, поскольку необходимо умственное развитие,

умение самостоятельно решить возникающие задачи. Индивидуальная помощь

учителя носит характер не подсказки, а направления на верный путь решения,

для чего используются вспомогательные задачи. Расположение задач в серии по

принципу нарастающей трудности стимулирует развитие самостоятельности

учеников. Обучение с использованием серии вспомогательных задач строится по

принципу от сложного к простому, от трудного к более легкому, что

способствует формированию элементов творчества, стимулирует поиски

учащимися способов решения, побуждает их мыслить. После решения всех задач

серии проводится коллективное обсуждение результатов. Полученный материал

обобщается для последующего применения полученных знаний при решении нового

класса задач, делаются теоретические выводы. Всячески поощряется

самостоятельность учеников в суждениях, в отстаивании собственного мнения.

Как показал опыт, обучение через задачи на внеурочных занятиях

обеспечивает развитие самостоятельности и творческой активности учащихся,

способствует приобретению прочных и осознанных знаний, развивает умение

сравнивать, обобщать, делать творческие выводы из решенных задач,

поддерживает интерес к математике.

3. АКТИВИЗАЦИЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ

Внеклассная работа по математике в ее традиционном толковании

проводится в школе учителем во внеурочное время с учащимися, проявляющими к

математике интерес. Эта работа планируется учителем и по мере необходимости

корректируется. Государственных программ по внеклассной работе нет, как нет

и норм оценок. На внеклассные мероприятия и занятия ученики приходят по

желанию, без всякой предварительной записи. Если у ученика пропадет интерес

к внеклассной работе, он прекращает свое участие в ней. Активизация

внеклассной работы по математике призвана не только возбуждать и

поддерживать у учеников интерес к математике, но и желание заниматься ею

дополнительно как под руководством учителя во внеурочное время, так и при

целенаправленной самостоятельной познавательной деятельности по

приобретению новых знаний, т. е. путем самообучения.

Одной из форм внеурочной работы являются конкурсы, которые обладают

большим эмоциональным воздействием на участников и зрителей. (Смотри

приложение 3)

4. ОРГАНИЗАЦИЯ САМООБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ С УЧЕТОМ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ

ИНТЕРЕСОВ И ПОТРЕБНОСТЕЙ

В дидактике установлено, что самостоятельная деятельность учащихся по

приобретению новых знаний по собственной инициативе, сверх программы

школьного предмета, возможна лишь при наличии серьезного интереса к

предмету, увлечения рассматриваемыми проблемами, переходящего в

познавательную потребность приобретать сверхпрограммные знания в

соответствии с индивидуальными интересами и потребностями.

С помощью анкет, в ходе личных бесед можно установить, почему тот или

иной ученик посещает занятия кружка или факультатива. В младшем возрасте,

как правило, это интерес к математике как любимому учебному предмету, в

среднем и старшем — это либо интерес к математике как науке, либо

профессионально-ориентационный, связанный с предполагаемой послешкольной

деятельностью. Например, в одной из школ с помощью анкет учитель установил,

что среди семиклассников, регулярно занимающихся в математических кружках и

факультативах, около 70% считают занятия по математике более любимыми в

школе, чем по другим предметам, примерно 20% заявили о своем серьезном

увлечении математикой как наукой и намерении посвятить математике свою

трудовую послешкольную деятельность, а около 10% назвали другие причины, в

том числе следование за товарищем, увлеченным математикой. Через два года

анкетирование среди этих же учеников показало, что лишь 6% изъявляют

желание глубоко изучать математику, 83% связывают дополнительные занятия

математикой с необходимостью хорошо подготовиться к конкурсному экзамену по

математике на вступительных экзаменах в вуз, а 11 % указывают другие

причины. Для учителя полученные данные нужны для эффективного применения

индивидуального подхода к школьникам во внеурочной работе, корректировки

своей работы, направленной на развитие интереса учащихся в ходе внеурочных

занятий. В противном случае первоначальный интерес к математике, не получая

подкрепления и развития, гаснет и ученики прекращают посещать внеурочные

мероприятия. Более того, они перестают самостоятельно заниматься

математикой дома, фактически прекращают самообучение.

Интерес к математике формируется с помощью не только математических

игр и занимательных задач, рассмотрения софизмов, разгадывания головоломок

и т. п., хотя и они необходимы, но и логической занимательностью самого

математического материала: проблемным изложением, постановкой гипотез,

рассмотрением различных путей решения проблемной ситуации, решением задач

или доказательством теорем различными методами и другими разработанными в

методике математики приемами формирования познавательного интереса к

математике. (Смотри приложение 4).

Разбор предложенных способов проходил на расширенном заседании

математического кружка с привлечением учащихся из группы факультатива и

приглашением желающих и вызвал неподдельный интерес у присутствующих.

Необходимые вычисления проводились с помощью микрокалькулятора.

Самообучение школьника невозможно без его умения и желания работать с

математической книгой.

Подбору математической литературы для самообучения учителю приходится

уделять большое внимание. Установлено, что учащиеся по-разному работают над

книгой: одни стараются побыстрее пройти теоретический материал и приступить

к решению задач, другие больше внимания уделяют, наоборот, теоретическим

вопросам. Первым не нравятся многословные учебники и пособия, они

предпочитают краткие дедуктивные доказательства; вторые предпочитают книги

с подробными выкладками, пояснениями, индуктивными выводами, примерами и т.

п.

Так, в одной из школ на факультативных занятиях в старших классах

изучение программирования на ЭВМ осуществлялось с помощью программированных

пособий. На факультативе их применение оправдывалось тем, что ученикам

предлагалось усваивать материал в индивидуальном темпе, затруднения

преодолевались с помощью индивидуальных консультаций, а подведение итогов

проводилось на заключительной конференции по книгам.

Наблюдения показали, что одни ученики старались быстрее овладеть

теорией. Если оказывалось, что выбранный ими ответ неверен, то, не пытаясь

разобраться в причинах ошибки, они искали другой ответ, пока не находили

верный, позволявший им читать очередную запрограммированную порцию учебной

информации. В процессе изучения материала пособия многие из этих учащихся

составляли свой шифр — последовательность страниц для чтения с правильными

ответами, а затем вторично прочитывали эти страницы в указанной шифром

последовательности, т. е. читали как обычную книгу, а не как

программированное пособие, составленное по разветвленной программе. Другим,

наоборот, нравилось разбирать все замечания автора. Даже убедившись, что

выбранный ими ответ верен, они читали указания и к другим, неверным

ответам, чтобы рассмотреть приводимые примеры и уяснить причины возможных

неправильных ответов.

При переходе в дальнейшем к изучению обычной литературы по

программированию на ЭВМ первые испытывали чувство удовлетворения от того,

что их не перебивают то и дело вопросами, на которые нужно давать ответ, а

в случае неверного выбора еще и перечитывать назидания автора. вторые же не

всегда удовлетворялись краткостью авторского изложения материала, постоянно

обращались к учителю с вопросами, чувствуя необходимость в его

комментариях.

С учетом избирательного отношения учеников к математическим книгам

можно рекомендовать для самообучения не одно учебное пособие, а несколько,

чтобы ученики сами выбирали то, которое им больше подходит по их

индивидуальным склонностям и способностям. Правда, учителю в этом случае

труднее контролировать их самостоятельную работу над книгой и проводить

консультации. Зато самообучение школьников будет более эффективным.

Большое значение для стимулирования самообучения имеет организация

обзоров изученной учащимися математической литературы, ее обсуждение на

читательских конференциях или в устных журналах. Обычно делается это так.

Объявляется тема для обзора и рекомендуется литература. Список литературы

помещается на стенде. Там же указывается расписание консультаций. Дается

время для подготовки, назначается место и время проведения.

Обзор литературы делают два-три ученика, они же отвечают на вопросы.

Впрочем, отвечать могут и присутствующие ученики и учитель, а также

дополнять или поправлять докладчиков. При этом возникают споры, выдвигаются

гипотезы, находятся новые решения и т. д. (Смотри приложение 5).

Для самостоятельного обучения очень важно воспитать у учащихся

потребность в самостоятельном поиске знаний и их приложении. Поэтому одной

из задач является приобщение учеников к решению задач по своей инициативе,

сверх школьной программы. Одним из средств является математическая

олимпиада. Школьники убеждаются на собственном опыте, что, чем больше

разнообразных задач они самостоятельно решают, тем значительнее их успехи

не только в школьной, но и в районной олимпиаде. Это служит дополнительным

стимулом к самообучению.

Одним из условий самообучения является умение ученика

планировать свою самостоятельную внеурочную познавательную деятельность по

приобретению знаний. Учитель помогает ему в составлении индивидуальных

планов самообучения и в их реализации. Если в V—VII классах самообучение

школьника проводится обычно по плану, подсказанному учителем, в VIII—IX

классах уже при совместных обсуждениях в индивидуальных или групповых

беседах и консультациях, то в Х—XI классах эти планы составляются самим

учеником. Лишь в некоторых случаях он прибегает к совету учителя или

руководствуется его рекомендациями.

Так, в одной из групп факультатива XI класса учащимся было предложено

уточнить свои индивидуальные планы самообучения на учебный год. В ходе

индивидуальных бесед учитель установил, что ученики планировали изучение

научной и научно-популярной математической литературы, посещение

математического кружка школьников-старшеклассников при пединституте и

математического лектория при политехническом институте, решение задач из

сборников задач различных математических олимпиад (отечественных и

зарубежных). Большое место в планах отводилось самостоятельной работе по

подготовке к поступлению в вуз: изучению пособий по математике для

поступающих в вуз и решению конкурсных задач, публикуемых в «Кванте»,

обучению на заочных подготовительных курсах в избранный или родственный вуз

и т. д.

Выяснив планы учащихся, учитель осуществлял индивидуально-групповое

педагогическое руководство самообучением школьников, которое проводилось в

следующих направлениях:

— корректирование (уточнение, детализация) индивидуальных планов

самообучения;

— подбор учебной, научно-популярной и научной литературы по математике

для самостоятельного изучения;

— более конкретное ознакомление каждого учащегося с предполагаемой

дальнейшей деятельностью и уточнение места и значения математических знаний

в этой деятельности;

— проведение индивидуальных и групповых консультаций по вопросам

самообучения;

— оказание практической помощи учащимся, готовящимся к поступлению в

вузы, где от абитуриентов требуется более углубленная математическая

подготовка (МГУ, МФТИ, МИФИ и другие институты).

Чтобы педагогическое руководство самообучением школьников было

эффективным, целесообразно осуществлять определенную дифференциацию,

которая по сути будет индивидуально-групповой. Это обусловлено тем, что

учащихся по их познавательным интересам и практическим потребностям,

которые они хотят удовлетворить, занимаясь самообразованием, можно

разделить на условные группы.

К первой группе можно отнести учащихся с ярко выраженной

интеллектуальной потребностью в углубленном изучении математики,

обусловленной стержневым познавательным интересом в области математики.

Предполагаемая послешкольная деятельность их связана с серьезным изучением

математики либо на математических факультетах университетов, либо в

технических вузах с углубленным изучением математики.

Во вторую группу целесообразно включить учеников, основные

познавательные интересы которых находятся в области физики, техники, в

естественнонаучной или производственной сфере, а углубленное изучение

математики вызывается потребностями послешкольной деятельности (например,

Страницы: 1, 2, 3