Реализация эвристического обучения учащихся на уроках математики

эвристических задач построены на статистических данных Беларуси и других

стран, что способствует не только развитию эвристического мышления, но и

расширяет кругозор детей и стимулирует их к самостоятельной познавательной

деятельности.

Весьма интересна с точки зрения применения эвристического метода

в школе книга американского педагога У. Сойера "Прелюдия к математике"

[17]. "Для всех математиков, - пишет Сойер, - характерна дерзость ума.

Математик не любит, когда ему о чем-нибудь рассказывают, он сам хочет

дойти до всего". Эта "дерзость ума", по словам Сойера, особенно сильно

проявляется у детей.

"Если вы, например, преподаете геометрию 9-10-летним ребятам, -

говорит Сойер, - и рассказываете, что никто еще не смог разделить угол

на три равные части при помощи линейки и циркуля, вы непременно

увидите, что один-два мальчика останутся после уроков и будут пытаться

найти решение. То обстоятельство, что в течение 2000 лет никто не

решил эту задачу, не помешает им надеяться, что они смогут это сделать

в течение часового перерыва на обед. Это, конечно, не очень скромно,

но и не свидетельствует об их самонадеянности. Они просто готовы

принять любой вызов. А ведь в действительности уже доказано, что

невозможно разделить угол на три равные части при помощи линейки и

циркуля. Их попытка найти решение - того же рода, что попытка

представить "корень из двух" в виде рациональной дроби p/q .Хороший

ученик всегда старается забежать вперед. Если вы ему объясните, как

решать квадратное уравнение дополнением до полного квадрата, он

непременно захочет узнать, можно ли решить кубическое уравнение

дополнением до полного куба. Вот это желание исследовать является

отличительной чертой математика. Это одна из сил, содействующих росту

математика. Математик получает удовольствие от знаний, которыми он уже

овладел, и всегда стремится к новым знаниям".

Другим необходимым качеством математика является интерес к

закономерностям. Закономерность - это наиболее стабильная

характеристика постоянно меняющегося мира. Сегодняшний день не может

быть похожим на вчерашний. Нельзя увидеть дважды одно и то же лицо под

одним и тем же углом зрения. Закономерности встречаются уже в самом

начале арифметики. В таблице умножения имеется немало элементарных

примеров закономерностей. Вот один из них. Обычно дети любят умножать

на 2 и на 5, потому что последние цифры ответа легко запомнить: при

умножении на 2 всегда получаются четные цифры, а при умножении на 5,

еще проще, всегда 0 или 5. Но даже в умножении на 7 есть свои

закономерности. Если мы посмотрим последние цифры произведений 7, 14,

21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, т.е. на 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0,

то увидим, что разность между последующей и предыдущей цифрами

составляет:-3; +7;-3;-3; +7; -3; -3, -3. В этом ряду чувствуется

совершенно определенный ритм.

Если прочесть конечные цифры ответов при умножении на 7 в

обратном порядке, то мы получаем конечные цифры от умножения на 3.

Даже в начальной школе можно развить навык наблюдения за

математическими закономерностями.

2.1.2. Эвристические приемы и задания на уроках математики

Формы и методы эвристического обучения направлены на развитие

эвристических качеств личности учащихся и имеют в своей основе

соответствующие типы заданий. Наиболее полно они описаны у Хуторского

А.В.[22] Ниже приведены примеры заданий и приемов, применение которых

обеспечивает развитие когнитивных, креативных, оргдеятельностных качеств

учащихся.

Задания когнитивного типа:

- Решить реальную проблему, которая существует в науке: доказать

математическую закономерность, лемму, теорему; объяснить графическую

форму цифр их взаимосвязь и последовательность.

- Исследование объекта (число, уравнение, задача); установить его

происхождение, смысл. Строение, признаки, функции, связи. Применение

разно научных подходов к исследованию одного итого же объекта.

- Проведение математического опыта, эксперимента.

- Исследование исторических фактов (создание десятеричной системы

счисления.

- Вычленение общего и отличного в разных системах, например, в разных

типах языков, к примеру, чисел, форм.

Задания креативного типа:

- Предложить ученикам по-своему выполнить то, что учителю уже известно: а)

придумать обозначение числа, понятия; б) дать определение изучаемому

объекту, явлению; в) сформулировать математическую закономерность и т.д.

- Сочинить задачу, математическую сказку.

- Составить математический кроссворд, игру, викторину, сборник своих

задач.

- Изготовить модель, математическую фигуру, геометрический сад.

- Провести урок в роли учителя. Разработать свои учебные пособия, памятки,

алгоритмы решения задач.

Задания оргдеятельностного типа:

- Разработать цели своих занятий по математике на день, на четверть, на

год; разработать план домашней, классной или творческой работы по

математике.

- Составить и провести викторину по математике, кроссворд, урок для

младших классов.

Эвристические приемы и задания на уроках математики

Формы и методы эвристического обучения направлены на развитие

эвристических качеств личности учащихся и имеют в своей основе

соответствующие типы заданий.

Ниже приведены примеры заданий и приемов, применение которых

обеспечивает развитие когнитивных, креативных, оргдеятельностных качеств

учащихся.

Задания когнитивного типа:

- Решить реальную проблему, которая существует в науке: доказать

математическую закономерность, лемму, теорему; объяснить графическую

форму цифр их взаимосвязь и последовательность.

- Исследование объекта (число, уравнение, задача); установить его

происхождение, смысл. Строение, признаки, функции, связи. Применение

разно научных подходов к исследованию одного итого же объекта.

- Проведение математического опыта, эксперимента.

- Исследование исторических фактов (создание десятеричной системы

счисления.

- Вычленение общего и отличного в разных системах, например, в разных

типах языков, к примеру, чисел, форм.

Задания креативного типа:

- Предложить ученикам по-своему выполнить то, что учителю уже известно: а)

придумать обозначение числа, понятия; б) дать определение изучаемому

объекту, явлению; в) сформулировать математическую закономерность и т.д.

- Сочинить задачу, математическую сказку.

- Составить математический кроссворд, игру, викторину, сборник своих

задач.

- Изготовить модель, математическую фигуру, геометрический сад.

- Провести урок в роли учителя. Разработать свои учебные пособия, памятки,

алгоритмы решения задач.

2.1.3. Характеристика эвристических методов

Для выбора основания классификации методов эвристического обучения

Хуторской А.В. обратился к основным видам эвристической образовательной

деятельности, классифицировав их согласно этим видам – на

оргдеятельностные, когнитивные и креативные. [22;195-210].

|Когнитивные |креативные |оргдеятельностные |

|Методы наук |Интуитивные Методы |Методы учеников |

|Методы учебных |Алгоритмические |Методы учителя |

|предметов |Методы | |

|Метапредметные Методы|Эвристики |Административные |

| | |Методы |

Когнитивные методы: метод вживания, родственный с ним метод смыслового

видения, метод образного видения и символического видения, метод

эвристических вопросов (Кто? Что? Где? Зачем? Чем? Как? Когда?), метод

сравнения близкий ему метод отличения фактов от нефактов (ищем факты, потом

«отличаем» от нефактов), метод эвристического наблюдения (его цель –

научить детей добывать и конструировать знания с помощью наблюдений), метод

эвристического исследования, метод конструирования понятий, метод

конструирования правил, метод гипотез, метод прогнозирования, метод ошибок,

метод конструирования теорий.

Рассмотрим некоторые из них.

Метод вживания: посредством чувственно – образных и мысленных

представлений ученик пытается «переселиться» в изучаемый объект,

почувствовать и познать его изнутри. Например, можно предложить ученику

представить себя равнобедренным треугольником. Такие упражнения развивают

способность мыслить и понимать явления с многообразных точек зрения, учат

включать в познание и осознание разум и мысль.

Метод эвристического исследования: выбирается объект исследования и

предлагается учащимся исследовать его по следующему плану: цели

исследования, план работы – факты об объекте – опыты – рисунки опытов –

новые факты – возникшие вопросы и проблемы – версии ответов – гипотезы –

выводы. Например, так можно исследовать геометрическую фигуру – ромб.

Креативные методы: метод придумывания, метод «Если бы…», метод

образной картины, метод гиперболизации, метод агглютинации (соединение

несоединимостей), метод синектики, «мозговой штурм», метод инверсии (метод

обращений).

Метод придумывания – это способ создания неизвестного ученикам ранее

продукта в результате их определенных умственных действий. Например, одну

сторону в параллелограмме заменить на полуось и описать свойства новой

фигуры.

Метод «мозгового штурма» - основной задачей этого метода является сбор

как можно большего числа идей по какой-либо теме в результате освобождения

участников обсуждения от инерции мышления и стереотипов.

Метод «Если бы……» - учащимся предлагается представить и описать, что

произойдет, если в мире что-то случится. Например, все объемные

геометрические фигуры превратятся в плоские и наоборот.

Оргдеятельностные методы: методы ученического целеполагания и

планирования, методы создания образовательных программ учеников, методы

нормотворчества, методы самоорганизации обучения, методы взаимообучения,

метод рецензий, методы контроля эвристической деятельности, методы

рефлексии, методы самооценки и рефлексии.

2.3. Нестандартные, эвристические задачи.

Какая задача называется нестандартной? «Нестандартные задачи — это

такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений,

определяющих точную программу их решения»[9].

Однако следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является

относительным. Одна и та же задача может быть стандартной и нестандартной,

в зависимости от того, знаком решающий задачу со способами решения задач

такого типа или нет. Например, задача «Представьте выражение 2х2 + 2у2 в

виде суммы двух квадратов» ([5], № 1264) является для учащихся

нестандартной до тех пор, пока учащиеся не познакомились со способами

решения таких задач. Но если после решения этой задачи учащимся предложить

несколько аналогичных задач, такие задачи становятся для них стандартными.

Аналогично задача «При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3х

+ 7у = 23?» ([5], № 1278) является нестандартной для учащихся VII класса до

тех пор, пока учитель не познакомит их со способами решения таких задач

(что, кстати сказать, можно сделать при обучении учащихся математике уже в

VI классе).

Таким образом, нестандартная задача — это задача, алгоритм решения

которой учащимся неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способа

ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение.

К сожалению, иногда учителя единственным способом обучения решению

задач считают показ способов решения определенных видов задач, после чего

следует порой изнурительная практика по овладению ими. Нельзя не

согласиться с мнением известного американского математика и методиста Д.

Пойа, что, если преподаватель математики «заполнит отведенное ему учебное

время натаскиванию учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес,

затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности».

Как же помочь учащимся научиться решать нестандартные задачи?

Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу,

к сожалению, видимо нет, так как нестандартные задачи в какой-то степени

неповторимы. Однако опыт работы многих передовых учителей, добивающихся

хороших результатов в математическом развитии учащихся как у нас в стране,

так и за рубежом, позволяет сформулировать некоторые методические приемы

обучения учащихся способам решения нестандартных задач.

В литературе (отечественной и зарубежной) методические принципы

обучения учащихся умением решать нестандартные задачи описаны неплохо.

Наиболее удачными, на наш взгляд, в этом отношении являются книги Д. Пойа

«Как решать задачу», «Математическое открытие», «Математика и

правдоподобные рассуждения» Л. М. Фридмана, Е. Н. Турецкого «Как научиться

решать задачу», Ю. М. Колягина, В. А. Оганесяна «Учись решать задачи». И

хотя некоторые из них адресованы учащимся, желающим научиться решать

задачи, они, без сомнения, могут быть использовании учителями при обучении

школьников умениям решать нестандартные задачи.

Прежде всего отметим, что научить учащихся решать задачи (в том числе

и нестандартные) можно только в том случае, если у учащихся будет желание

их решать, то есть если задачи будут содержательными и интересными с точки

зрения ученика. Поэтому проблема первостепенной важности, стоящая перед

учителем,— вызвать у учащихся интерес к решению той или иной задачи.

Необходимо тщательно отбирать интересные задачи и делать их

привлекательными для учащихся. Как это сделать — решать самому учителю.

Наибольший интерес вызывают у учащихся задачи, взятые из окружающей их

жизни, задачи, естественным образом связанные со знакомыми учащимся вещами,

опытом, служащие понятной ученику цели.

Другой пример. Желая научить учащихся решать в натуральных числах

уравнения вида ах + by = с, можно, конечно, предложить учащимся выполнить

упражнение № 1278 из [20] (При каких натуральных значениях х и у верно

равенство 3х+7у=23?). Но, как показывают наши наблюдения, учащиеся легче и

с б(льшим интересом учатся способам решения таких уравнений, если им

предложить, например, следующую задачу: «Чтобы купить вещь, нужно уплатить

19 р. У покупателя только трехрублёвые купюры, у кассира только

десятирублевые. Может ли покупатель расплатиться за покупку? А если у

кассира только пятирублевые купюры?» Много таких же интересных задач на

соответствующую тематику имеется в журнале «Квант».

Мы понимаем, конечно, что нельзя приучать учащихся решать только те

задачи, которые вызывают у них интерес. Но нельзя и забывать, что такие

задачи учащийся решает легче и свой интерес к решению одной или нескольких

задач он может в дальнейшем перенести и на «скучные» разделы, неизбежные

при изучении любого предмета, в том числе и математики.

Таким образом, учитель, желающий научить школьников решать задачи,

должен, на наш взгляд, вызвать у них интерес к задаче, убедить, что от

решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от

разгадывания кроссворда или ребуса.

Задачи не должны быть слишком легкими, но и не должны быть слишком

трудными, так как учащиеся, не решив задачу или не разобравшись в решении,

предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. Не следует

предлагать учащимся задачу, если нет уверенности, что они смогут ее решить.

Решение нестандартной задачи — очень сложный процесс, для успешного

осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться.

Необходимо также хорошее знание фактического материала, владение общими

подходами к решению задач, опыт в решении нестандартных задач.

В процессе решения каждой задачи и ученику, решающему задачу, и

учителю, обучающему решению задач, целесообразно четко разделять четыре

ступени: 1) изучение условия задачи; 2) поиск плана решения и его

составление; 3) осуществление плана, то есть оформление найденного решения;

4) изучение полученного решения — критический анализ результата решения и

отбор полезной информации.

Даже при решении несложной задачи учащиеся много времени тратят на

рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. «Чтобы помочь учащимся

найти путь к решению задач, учитель должен уметь поставить себя на место

решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных

затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая

помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы,

позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт,

который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач.»[10]

«Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы

путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею… Хорошие идеи имеют

своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания… Часто

оказывается уместным начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь

родственная задача?» (Пойа Д.). Таким образом, хорошим средством обучения

решению задач, средством для нахождения плана решения являются

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5