Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах

роль приобретают общие свойства преобразований. Наконец, достигнутый

уровень владения различными способами решения позволяет выделить наиболее

часто используемые преобразования (равносильность и логическое следование).

Учебные пособия по алгебре имеют существенные различия в отношении

описанных способов обоснования. Тем не менее выделяются все указанные

направления, причем в общей для них последовательности. Кратко рассмотрим

каждое из этих направлений.

Эмпирическое обоснование процесса решения. Таким способом описываются

приемы решения первых изучаемых классов уравнений. В частности, это

характерно для уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Методика изучения

этих уравнений состоит в предъявлении алгоритма решения таких уравнений и

разборе нескольких типичных примеров.

Указанный алгоритм формируется, естественно, далеко не сразу. Перед

этим разбирается несколько примеров, причем цель рассмотрения состоит в

выделении в последовательности действий нужных для описания алгоритма

операций. Объяснения учителя могут быть такими: «Нужно решить уравнение

5x+4=3x+10. Постараемся все члены, содержащие неизвестное, собрать в одной

части, а все члены, не содержащие неизвестное,— в другой части уравнения.

Прибавим к обеим частям уравнения число (—4), данное уравнение примет вид

5х=3x+10—4. Теперь прибавим к обеим частям уравнения (—3х), получим

уравнение 5х—3x=10—4. Приведем подобные члены в левой части уравнения, а в

правой вычислим значение выражения; уравнение примет вид 2х=6. Разделим обе

части уравнения на 2, получим х=3». Этот рассказ сопровождается

последовательно возникающей на доске записью преобразований:

5х+4=3х+10

5х=3х+10—4

5х—3х=10—4

……………...

Анализируя решение, учитель может прийти к правилам решения уравнений

1-й степени с одним неизвестным. Обратим внимание на некоторые формальные

пробелы этого изложения. Прежде всего, в таком рассказе не акцентируется

внимание на том, что под действием преобразований уравнение преобразуется в

некоторое новое уравнение. Ученики как бы имеют дело все время с тем же

уравнением. Если бы упор делался непосредственно на переход от одного

уравнения к другому, то это потребовало бы более внимательного анализа

представлений, связанных с равносильностью, что как раз не характерно для

первых этапов обучения алгебре.

Далее, вопрос о том, все ли корни уравнения найдены, здесь не

ставится. Если даже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то

ответ на него, как правило, не дается. Основную роль играют действия по

переносу членов из одной части уравнения в другую, группировка подобных

членов.

Таким образом, вопросы обоснования решения уравнения стоят на втором

плане, а на первом — формирование прочных навыков преобразований. Отсюда

можно сделать вывод: на этом этапе проверка найденного корня служит

необходимой частью обоснования правильности решения.

Дедуктивное обоснование процесса решения уравнений без явного

использования понятия равносильности. Разобранное обоснование процесса

решения не всегда может быть эффективно использовано при изучении других

классов уравнений. Тем или иным способом к изучению материала линии

уравнений нужно привлекать различные приемы дедуктивного обоснования. Это

связано с возрастанием сложности предлагаемых заданий по сравнению с

исходным классом (уравнения 1-й степени с одним неизвестным). При этом

постоянно приходится опираться на свойства числовой системы и основные

понятия теории уравнений (корень уравнения, множество корней уравнения, что

значит «решить уравнение»).

При наличии в курсе теоретико-множественных понятий дедуктивное

обоснование решения уравнений проводится так: при переходе от рассмотрения

уравнения (=g к уравнению (1==g1 обращается внимание на совпадение множеств

корней этих уравнений и этот факт обосновывается при помощи свойств

равенства числовых выражений. Например, с этой точки зрения переход от

уравнения 3х+2у=5 к уравнению у=—1,5х+2,5 обосновывается с использованием

свойства: если а=b—верное равенство, то а+с=b+с и ас=bс также верные

равенства.

При отсутствии теоретико-множественных представлений тот же переход

производится тем же, по существу, способом, но с использованием конкретного

решения одного из этих двух уравнений. Рассуждения при этом проводятся так:

«Пусть (х0, y0) — решение первого уравнения, т. е. 3x0+2y0=5. Пользуясь

свойствами числовых равенств, данное равенство можно записать в виде y0= —

1,5х0+2,5, значит, (х0, y0) — решение второго уравнения». Так же

проверяется обратное заключение.

Внешне различие между двумя способами обоснования (помимо того, что в

первом используется термин «множество») проявляется в том, что в первом из

них пользуются свойствами равенств с переменными, а во втором — свойствами

числовых равенств. Сложность обучения любому из этих способов примерно

одинакова.

Переход к дедуктивному обоснованию может производиться на различном

материале. Например это можно сделать при изучении линейного уравнения с

двумя переменными, системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными,

линейного уравнения с одним неизвестным.

Необходимо, однако, отметить, что, каким бы ни был способ обоснования,

он не является самоцелью в курсе школьной математики. Цель изучения

обоснований состоит в обеспечении осознанности процесса решения. После того

как она достигнута, дальнейшее использование уже обоснованного приема

приводит к формированию навыка, которым учащиеся пользуются в дальнейшем,

возвращаясь к обоснованию приема только изредка.

Введение для обоснования решения уравнений и их систем понятий

равносильности и логического следования. Рассмотренные приемы обоснования

опираются на связь линии уравнений и неравенств с числовой системой. Однако

последовательное применение этих приемов затруднительно из-за громоздкости

рассуждении. Поэтому на определенном этапе изучения содержания курса

алгебры происходит выявление общелогической системы обоснований. Уже

говорилось о том, что в эту систему входят понятия равносильности и

логического следования.

Обратимся к разобранному уравнению 5х+4=3x+10. С использованием

равносильности его решение проводится так: «Поскольку перенос членов

уравнения из одной части в другую с изменением знака — равносильное

преобразование, то, осуществив его, приходим к уравнению, равносильному

данному: 5х—3х=10—4. Упрощая выражения в левой и правой частях уравнения,

получим 2х=6, откуда х=3».

Отметим особенности приведенного решения по сравнению с изложенным

ранее. Прежде всего, оно более свернуто, предполагает намного более высокий

уровень владения материалом курса алгебры. Поэтому применению такого

способа решения уравнений и их систем должна предшествовать большая

подготовительная работа. Объем предварительного материала зависит от общих

методических установок, используемых в учебных пособиях. Например, в

учебниках алгебры для VI—VIII классов под редакцией А. И. Маркушевича

понятие о равносильности вводится спустя полтора года после начала изучения

систематического курса алгебры. В других курсах оно вводится гораздо позже,

в старших классах.

В случае отсутствия понятий равносильности и логического следования

описание процесса решения также становится постепенно все более сжатым.

Отсутствие указанных терминов проявляется в том, что само описание решения

не содержит элементов обоснования, которое в этих условиях произвести

достаточно сложно. По этой причине в пособиях, где равносильность и

логическое следование появляются поздно, сравнительно большое внимание

уделяется формированию не общих приемов решения уравнений, а навыков

решения уравнений тех или иных классов.

Использование логической терминологии при описании решений позволяет

параллельно с нахождением корней получать также и логическое обоснование.»

Особенно велика роль логических понятий при итоговом обобщающем повторении

курса алгебры и всего курса математики средней школы. Поскольку при этом

необходимо выявить структуру крупных частей изученного материала,

отсутствует возможность вновь пройти весь путь нахождения приемов решений

различных классов уравнений, неравенств и их систем. Логические понятия

позволяют не только быстро восстановить путь нахождения таких приемов, но и

одновременно обосновать их корректность. Тем самым происходит развитие

средств логического мышления учащихся. Учитывая это, на этапах обобщающего

повторения целесообразно формулировать свойства равносильности и

логического следования в общем виде и иллюстрировать их заданиями,

относящимися к различным классам уравнений и их систем.

§ 4. Обобщенные приемы решения уравнении с одной переменной в школьном

курсе алгебры

Выделение приемов решения уравнений

Рассмотрим закономерность формирования обобщенного приема решения

уравнений с одним неизвестным алгебраическим способом. Она вытекает из

следующего. Для того чтобы решить любое уравнение с одной переменной,

учащийся должен знать: во-первых, правило, формулы или алгоритмы решения

простейших уравнений данного вида и, во-вторых, правила выполнения

тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное

уравнение можно привести к простейшим.

Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных

частей: 1) преобразования данного уравнения к простейшим; 2) решения

простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам. При

этом если вторая часть решения является алгоритмической, то первая — в

значительной степени (и тем большей, чем сложнее уравнение) —

эвристической. Именно правильный выбор необходимых тождественных и

равносильных преобразований, как и всякий поиск решения задачи,

представляет наибольшую трудность для учащихся.

Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа

обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда»

тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно

привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует

строить и процесс формирования обобщенных приемов решения уравнений в

школьном курсе алгебры.

Обобщение приемов решения уравнений

Обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений происходит

постепенно. Выделим следующие этапы, процесса обобщения приемов решения

уравнений:

решение простейших уравнений данного вида;

анализ действий, необходимых для их решения;

вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминание его;

решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

анализ действий, необходимых для их решения;

формулировка частного приема решения;

применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в

легко осознаваемых вариациях образца;

работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно

программе;

сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их

составе и формулировка обобщенного приема решений.

применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание

на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена

на создание ситуаций (условий) для реализации этой схемы в процессе

поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для

диагностики контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения,

его формулировки, отработки.

В V—VI классах при изучении числовых множеств в учебниках формулируется

довольно много алгоритмов действий над числами и правил простейших

тождественных преобразований выражений. Формулировка частных приемов

решения различных простейших уравнений первой степени может естественно

вписаться в этот процесс, не ограничиваясь, как это делают школьные

учебники алгебры, объяснениями на примерах.

Проводя работу по этапам процесса обобщения, к концу изучения курса

математики V—VI классов можно сформировать у учащихся, во-первых,

обобщенный прием решения уравнения первой степени с одной переменной в

следующем виде:

1) рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;

2) установить, какие из следующих упрощений уравнения можно сделать:

перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных

слагаемых в левой и правой частях уравнения, раскрытие скобок, деление

обеих частей на коэффициент при неизвестном;

3) упростить уравнение;

4) найти значение неизвестного;

5) записать ответ.

Во-вторых, можно сформулировать и обобщенный прием решения задач с

помощью уравнений, например, так, как это сделано в учебнике «Алгебра-7»

под редакцией С. А. Теляковского (М., 1989): «...поступают следующим

образом: обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие

задачи, составляют уравнение; решают это уравнение; истолковывают

полученный результат в соответствии с условием задачи».

В таком виде оба приема следует повторить в начале систематического

изучения курса алгебры в VII классе, затем уточнить их с учетом того, что

здесь дают определения основным понятиям (уравнения, корня, равносильности,

линейного уравнения).

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по

алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения

неполных квадратных уравнений и по дискриминанту, уместно сформулировать

обобщенный прием решения квадратного уравнения (по аналогии с приемом

решения уравнения первой степени):

1) определить, является ли уравнение простейшим (неполным или полным)

квадратным уравнением; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных

преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к простейшему:

раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из

одной части в другую, приведение подобных;

3) привести с помощью выбранных преобразований уравнение к квадратному

уравнению ах2 +bх+с=0, где а>0;

4) проверить равенство коэффициентов b и c нулю; если b=0 или c=0, то п.

5, если b(с(0, то п. 6;

5) найти х по правилам: при b=c=0 х1,2=0; при с=0 и b(0

при b=0 и c0 решений нет;

6) найти дискриминант уравнения D=b2—4ac;

7) найти х по формуле: при D>0 [pic] при D=0

[pic] при Dc.

Ход урока.

I. Организационное начало урока.

-Здравствуйте, садитесь, сегодня урок алгебры проведу у вас я, зовут меня

Елена Федоровна

II. Сообщение темы и цели.

-Сегодня, на уроке мы познакомимся с уравнениями нового вида - «Линейными

уравнениями с двумя переменными».

III. Актуализация знаний учащихся.

-Посмотрите на доску. Какие из этих уравнений вам уже знакомы?

7х2+3х+5=0 5х+9=54

4х+9у=7 9(х2+6х+2)-8=30

x2/3+y2/2=1 4(х+2)+1=х+18.

-А как называются эти уравнения?

-Правильно это линейные уравнения с одной переменной.

-А кто скажет определение линейного уравнения с одной переменной?

-Уравнение вида ах=в, в котором x- переменная, а а и в – некоторые числа ,

называется линейным уравнением с одной переменной.

-Откройте учебники на стр. 27 , прочитайте это определение. Повтори…

-Приведите примеры линейных уравнений с одной переменной.

-Посмотрите на доску, перед вами линейные уравнения. Давайте вспомним как

они решаются.

-Откройте тетради, запишите число, классная работа, тема: «Линейные

уравнения с двумя переменными.»

-Все решают уравнения в тетрадях, а Оля пойдет к доске и решит с подробным

объяснением первое уравнение:

2х+6=10

(Перенесем слагаемое без х в правую часть уравнения, изменив при этом его

знак на противоположный: 2х=10-6 , вычислим результат 2х=4. Разделим обе

части уравнения на 2, получим х=2).

-Молодец. Садись.

-Второе уравнение пойдет решать Саша.

2(х+3)+4=х-1.

(Раскроем скобки, для этого умножим 2 на каждое слагаемое суммы (х+3),

получим 2х+6+4=х-1. Перенесем слагаемые, содержащие х в левую часть

уравнения, а не содержащие х – в правую часть, изменив при этом знаки на

противоположные.

2х-х= -6-4-1.

Приведем подобные слагаемые : х= - 11.

- Ребята , такие уравнения вы хорошо умеете решать.

- А какие свойства применяли при решении этих уравнений? (Если в уравнении

слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак , то

получится уравнение, равносильное данному.)

- А какое еще свойство вы применяли? (Если разделить или умножить обе части

уравнения на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение

равносильное данному.)

IV. Изучение нового материала.

-Ребята, а сегодня мы познакомимся с уравнениями нового вида.

-Пусть известно , что одно их двух чисел на 5 больше другого. Если первое

число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними

можно записать в виде равенства х-у=5, содержащего 2 переменные. Такие

уравнения называются уравнениями с двумя переменными или уравнениями с

двумя неизвестными.

-Уравнениями с двумя переменными также являются уравнения:

5х+2у=10, -7х+у=5, х2+у2=20 , ху=12 (запись на доске).

-Из этих уравнений первые два имеют вид ах+ву=с, где а, в, с – числа. Такие

уравнения называются линейными уравнениями с двумя переменными.

-Итак: Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

ах+ву=с где х и у – переменные, а, в, с, - некоторые числа .

-Откройте учебники на странице 188.Прочитайте определение про себя.

-Теперь прочитайте вслух.

-А кто из вас повторит его ?

-уравнение х-у=5, при х=8, у=3. Обращается в верное равенство 8-3=5.

Говорят, что пара значений переменных х=8, у=3 является решением этого

уравнения. Записываю на доске:

х-у=5, х=8, у=3

8-3=5 - верное равенство.

Определение: Решением уравнения с двумя переменными называется пара

значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6