Реферат: Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна

Реферат: Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна

Содержание

1. Введение

1.1.        Волны в природе

Из школьного курса физики [1] хорошо извест­но, что если в какой-либо точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить ко­лебания, то они будут передаваться в другие места. Эта передача возбуждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с другом. При этом колебания, возбужденные в одном месте, рас­пространяются в пространстве с определенной ско­ростью. Волной принято называть процесс передачи возбуждений среды (в частности, колебательного процесса) от одной точки к другой.

Природа механизма распространения волны может быть различной. В простейшем случае связи между участками в среде могут быть обусловлены силами упругости, которые возникают из-за дефор­маций в среде. При этом в твердой упругой среде могут распространяться как продольные волны, при которых смещения частиц среды осуществля­ются в направлении распространения волны, так и поперечные волны, у которых смещения частиц перпендикулярны распространению волны. В жид­кости или газе в отличие от твердых тел нет сил со­противления сдвигу, поэтому могут распространять­ся только продольные волны. Хорошо известный пример продольных волн в природе — звуковые вол­ны, которые возникают из-за упругости воздуха.

Среди волн иной природы особое место занима­ют электромагнитные волны, передача возбужде­ний у которых происходит из-за колебаний элект­рического и магнитного полей. Среда, в которой распространяются электромагнитные волны, как правило, оказывает существенное влияние на про­цесс распространения волн, однако электромагнит­ные волны в отличие от упругих могут распростра­няться даже в пустоте. Связь между различными участками в пространстве при распространении та­ких волн обусловлена тем, что изменение электри­ческого поля вызывает появление магнитного поля и наоборот.

С явлениями распространения электромагнит­ных волн мы часто сталкиваемся в нашей повседнев­ной жизни. К этим явлениям относятся радиоволны, применение которых в технических приложениях общеизвестно. В этой связи можно упомянуть рабо­ту радио и телевидения, которая основана на прие­ме радиоволн. К электромагнитным явлениям, только в другом частотном диапазоне, относится также свет, с помощью которого мы видим окружа­ющие нас предметы.

Очень важным и интересным типом волн яв­ляются волны на поверхности воды. Это один из распространенных видов волн, который каждый наблюдал еще в детстве и который обычно демон­стрируется в рамках школьного курса физики. Од­нако, по выражению Ричарда Фейнмана [2], "более неудачного примера для демонстрации волн приду­мать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все труднос­ти, которые могут быть в волнах".

Если рассмотреть достаточно глубокий бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмуще­ния будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Развитие этого явле­ния со временем и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по ок­ружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы смесь тех и других. С глубиной радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьша­ются до тех пор, пока они не станут равными нулю.

Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что она зависит от ее длины. Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного паде­ния, умноженному на длину волны. Причиной воз­никновения таких волн является сила тяжести.

Для коротких волн восстанавливающая сила обусловлена силой поверхностного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна кор­ню квадратному из частного, в числителе которого стоит коэффициент поверхностного натяжения, а в знаменателе — произведение длины волны на плот­ность воды. Для волн средней длины волны ско­рость их распространения зависит от перечислен­ных выше параметров задачи [2]. Из сказанного ясно, что волны на воде и в самом деле довольно сложное явление.

1.2. Открытие уединенной волны

Волны на воде издавна привлекали к себе вни­мание исследователей. Это связано с тем, что они представляют собой широко известное явление в природе и, кроме того, сопровождают перемещение судов по воде.

Любопытную волну на воде наблюдал шотланд­ский ученый Джон Скотт Рассел в 1834 году. Он за­нимался исследованием перемещения по каналу баржи, которую тянула пара лошадей. Неожиданно баржа остановилась, но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась, а собралась у носа судна, а затем оторвалась от него. Далее эта масса воды покатилась по каналу с большой скоро­стью в виде уединенного возвышения, не меняя своей формы и не снижая скорости.

На протяжении всей жизни Рассел неоднократ­но возвращался к наблюдению за этой волной, по­скольку верил, что открытая им уединенная волна играет важную роль во многих явлениях в природе. Он установил некоторые свойства этой волны. Во-первых, заметил, что она движется с постоянной скоростью и без изменения формы [3]. Во-вторых, нашел зависимость скорости С этой волны от глу­бины канала h и высоты волны а:

где g — ускорение свободного падения, причем a < h. В-третьих, Рассел обнаружил, что возможен распад одной большой волны на несколько волн. В-четвер­тых, он отметил, что в экспериментах наблюдаются только волны возвышения. Однажды он также обра­тил внимание, что открытые им уединенные волны проходят друг через друга без каких-либо измене­ний, как и малые волны, образованные на поверхно­сти воды. Однако на последнее очень важное свой­ство он не обратил существенного внимания.

Работа Рассела, опубликованная в 1844 году как "Доклад о волнах", вызвала осторожную реакцию в среде ученых. На континенте ее не заметили сов­сем, а в самой Англии на нее обратили внимание Г.Р. Эйри и Дж.Г. Стоке. Эйри подверг критике ре­зультаты экспериментов, которые наблюдал Рассел. Он отмечал, что из теории длинных волн на мелкой воде выводы Рассела не получаются, и утверждал, что длинные волны не могут сохранять неизменную форму. И в конечном итоге подверг сомнению пра­вильность наблюдений Рассела. Один из основате­лей современной гидродинамики, Джордж Габриэль Стоке, также не согласился с результатами наблюде­ний, полученными Расселом, и критически отнесся к факту существования уединенной волны.

После столь негативного отношения к откры­тию уединенной волны долгое время о ней просто не вспоминали. Определенную ясность в наблюде­ния Рассела внесли Дж. Буссинеск (1872 год) и Дж.У. Рэлей (1876 год), которые независимо друг от друга нашли аналитическую формулу для возвыше­ния свободной поверхности на воде в виде квадрата гиперболического секанса и вычислили скорость распространения уединенной волны на воде.

Позже опыты Рассела были повторены другими исследователями и получили подтверждение.

1.3. Линейные и нелинейные волны

В качестве математических моделей при описа­нии распространения волн в различных средах час­то используют уравнения в частных производных. Это такие уравнения, которые содержат в качестве неизвестных производные от характеристик рассматриваемого явления. Причем поскольку ха­рактеристика (например, плотность воздуха при распространении звука) зависит от расстояния до источника и от времени, то и в уравнении использу­ются не одна, а две (а иногда и больше) производ­ные. Простое волновое уравнение имеет вид

utt=c2uxx                (1.1)

Характеристика волны и в этом уравнении зависит от пространственной координаты х и времени t, а индексы у переменной и обозначают вторую произ­водную от и по времени (utt) и вторую производную от и по переменной  x(uxx). Уравнение (1) описывает плоскую одномерную волну, аналогом которой мо­жет служить волна в струне. В этом уравнении в ка­честве и можно принять плотность воздуха, если речь идет, например, о звуковой волне в воздухе. Ес­ли рассматривают электромагнитные волны, то под и следует понимать напряженность электрического или магнитного поля.

Решение волнового уравнения (1), которое впервые было получено Ж. Д'Аламбером в 1748 го­ду, имеет вид

u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)      (1.2)

Здесь функции f и g находят из начальных условий для и. Уравнение (1.1) содержит вторую производную от и по t, поэтому для него следует задавать два на­чальных условия: значение и при t = 0 и производ­ную и, при t = 0.

Волновое уравнение (1.1) имеет очень важное свойство, суть которого заключена в следующем. Оказалось, что если взять два любых решения этого уравнения, то их сумма снова будет решением этого же уравнения. Это свойство отражает принцип су­перпозиции решений уравнения (1.1) и соответствует линейности явления, которое оно описывает. Для нелинейных моделей это свойство не выполняется, что приводит к существенным отличиям протекания процессов в соответствующих моделях. В частности, из выражения для скорости уединенной волны, ко­торую наблюдал Рассел, следует, что ее значение за­висит от амплитуды, а для волны, описываемой уравнением (1.1), такой зависимости нет.

Непосредственной подстановкой в уравнение (1.1) можно убедиться, что зависимость

u(x,t)=a cos(kx-wt)      (1.3)

в которой а, k и w — постоянные, при w =±k является решением уравнения (1). В этом решении а — амплитуда, k — волновое число, а w — частота. При­веденное решение представляет собой монохрома­тическую волну, переносимую в среде с фазовой скоростью

cp=        (1.4)

На практике монохроматическую волну создать трудно, и обычно имеют дело с цугом (пакетом) волн, в котором каждая волна распространяется со своей скоростью, а скорость распространения паке­та характеризуется групповой скоростью

Cg=, (1.5)

определяемой через производную от частоты w по волновому числу k.

Определить, с какой (линейной или нелиней­ной) моделью имеет дело исследователь, не всегда легко, но когда математическая модель сформули­рована, то решение этого вопроса упрощается и вы­полнение принципа суперпозиции решений можно проверить.

Возвращаясь к волнам на воде, заметим, что их можно анализировать используя хорошо известные уравнения гидродинамики, о которых известно, что они нелинейны. Поэтому и волны на воде в общем случае являются нелинейными. Только в предель­ном случае малых амплитуд эти волны могут счи­таться линейными.

Отметим, что и распространение звука не во всех случаях описывается линейным уравнением. Еще Рассел при обосновании своих наблюдений по уе­диненной волне отметил, что звук от выстрела пуш­ки распространяется в воздухе быстрее, чем коман­да произвести этот выстрел. Это объясняется тем, что распространение мощного звука описывается уже не волновым уравнением, а уравнениями газо­вой динамики.

2.            Уравнение Кортевега - де Фриса

Окончательная ясность в проблеме, которая воз­никла после опытов Рассела по уединенной волне, наступила после работы датских ученых Д .Д. Кортевега и Г. де Фриса, которые попытались разобраться в существе наблюдений Рассела. Обобщив метод Рэлея, эти ученые в 1895 году вывели уравнение для описания длинных волн на воде. Кортевег и де Фрис, используя уравнения гидродинамики, рас­смотрели отклонение и(х,t) от положения равнове­сия поверхности воды при отсутствии вихрей и при постоянстве плотности воды. Сделанные ими на­чальные приближения были естественны. Они так­же предположили, что при распространении волны выполняются два условия для безразмерных пара­метров

e=<<1,  d=      (2.1)

Здесь а — амплитуда волны, h — глубина бассейна, в котором рассматриваются волны, l — длина волны (рис. 1).

Суть приближений состояла в том, что амплиту­да рассматриваемых волн была много меньше, чем

Рис. 1. Уединенная волна, распространяющаяся по каналу, и ее параметры

глубина бассейна, но в то же время длина волны бы­ла много больше, чем глубина бассейна. Таким образом, Кортевег и де Фрис рассматривали длин­ные волны.

Уравнение, которое было ими получено, имеет вид

ut + 6uux + uxxx = 0.          (2.2)

Здесь u(x,t) - отклонение от положения равновесия поверхности воды (форма волны) - зависит от ко­ординаты x и времени t. Индексы у характеристики u означают соответствующие производные по t и по x. Это уравнение, как и (1), является уравнением в ча­стных производных. Изучаемая характеристика у него (в данном случае u) зависит от пространствен­ной координаты x и времени t.

Решить уравнение такого типа - значит найти зависимость u от x и t, после подстановки которой в уравнение мы придем к тождеству.

Уравнение (2.2) имеет волновое решение, извест­ное с конца прошлого века. Оно выражается через специальную эллиптическую функцию, изученную Карлом Якоби, которая носит теперь его имя.

При некоторых условиях эллиптическая функ­ция Якоби переходит в гиперболический секанс и решение имеет вид

u(x,t)=2k2ch-2{k(x-4k2t)+j0},    (2.3)

где j0— произвольная постоянная.

Решение (8) уравнения (7) является предельным случаем бесконечно большого периода волны. Именно этот предельный случай является уединен­ной волной, соответствующей наблюдению Рассела в 1834 году.

Решение (8) уравнения Кортевега— де Фриса яв­ляется бегущей волной. Это означает, что оно зави­сит от координаты x и времени t через переменную x=x-c0t. Эта переменная характеризует положение точки координат, движущейся со скоростью волны с0, то есть она обозначает положение наблюдателя, который постоянно находится на гребне волны. Та­ким образом, уравнение Кортевега— де Фриса в от­личие от решения Д'Аламбера (1.2) волнового реше­ния (1.1) имеет волну, распространяющуюся лишь в одном направлении. Однако оно учитывает прояв­ление более сложных эффектов вследствие дополнительных слагаемых uux и uxxx.

В действительности это уравнение является так­же приближенным, поскольку при его выводе ис­пользованы малые параметры (2.1) e иd. Если прене­бречь влиянием этих параметров, устремляя их к нулю, мы получим одну из частей решения Д'Алам­бера.

Конечно, при выводе уравнения для длинных волн на воде влияние параметров е и 6 может быть учтено более точно, но тогда получится уравнение, содержащее гораздо больше слагаемых, чем уравне­ние (2.2), и с производными более высокого порядка. Из сказанного следует, что решение уравнения Кортевега-де Фриса для описания волн справедливо только на определенном расстоянии от места обра­зования волны и на определенном промежутке вре­мени. На очень больших расстояниях нелинейные волны уже не будут описываться уравнением Кортевега-де Фриса, и для описания процесса потребует­ся более точная модель. Уравнение Кортевега-де Фриса в этом смысле следует рассматривать как не­которое приближение (математическую модель), со­ответствующее с определенной степенью точности реальному процессу распространения волн на воде.

Страницы: 1, 2