Теории управления
Теории управления
Управление - относится к математической теории управления движением
технической системы.
Необходимо написать алгоритм, по которому некоторая система управляется с
помощью энергетического воздействия, например : летательный аппарат
управляется с помощью рулевой машины. Оказывается создать управление это не
очень сложно и это можно сделать интуитивно. Однако создать оптимальное
управление чрезвычайно сложно.
Теория оптимизации - это наука о наилучших алгоритмах (управления)
созданных по некоторому критерию качества
Критерий качества - создание (абстрактное) некоторой функции риска,
которая должна быть в процессе оптимизации минимизированна (экстремальная
задача).
Управление бывает оптимальным и квазиоптимальным.
Оптимальное - на бумаге,
Квазиоптимальное - реальное, стремится к идеальному.
Управление бывает :
1) Программное
2) С помощью отрицательной обратной связи
Программное управление –
требуется создать программу, которая дает оптимальную траекторию (заложена
в ЭВМ) движения некоторой системы.
Пример 1 : Перевод летательного аппарата из точки А в
точку В.
Критерий - минимизировать расход горючего.
Для реализации такой задачи создано две системы - Novstar
(США) и Глонасс (Россия), стоимость их очень высока.
Пример 2 : Надо создать такую траекторию, чтобы шарик скатился из точки ‘А’
в точку ‘В’ за минимальное время.
А
А - Оптимальная
В
В траектория
Управление с помощью отрицательной обратной связи
Отрицательной обратной связью - называется передача энергии с выхода на
вход некоторой управляемой системой
вх + Система вых
обратная связь
Бывает два вида обратной связи : Положительная ОС и отрицательная ОС.
Отрицательная ОС уменьшает входное воздействие на систему пропорционально
выходному отклику (демпфирует систему в целом).
Автоматика - наука изучающая теорию анализа и синтеза
систем управления (корректировка движения, оптимизация
переходных процессов) и создание оптимального управления.
Радиоавтоматика - наука, изучающая вопросы управления
движением радиотехнических систем.
Структурная схема системы радиоуправления :
Радио- ((( Устройство (-(( Объект (( Датчик
приемник Управления Управления
ООС
Радиоприемное устройство - устройство выделения сигнала
по некоторому радиоканалу.
Особенность выделения сигнала состоит в том, что сигнал выделяется на
фоне внутренних шумов и помех.
Внутренние шумы - тепловые шумы, которые всегда имеют
место в радиоприемном устройстве.
Таким образом в радиоавтоматике случайные процессы изучаются особо (шум,
помеха, сама траектория движения)
Устройство управления - как правило - вычислительная сис-
тема с приводом и энергетической
установкой.
Привод - преобразователь механических колебаний в элек-
трические.
Объект управления - некоторая динамическая система.
Динамическая система - система, которая описывается ли-
нейными и нелинейными дифферен-
циальными уравнениями высокого
порядка.
Датчик - устройство, которое измеряет положение летатель-
ного аппарата в пространстве.
Глава 1 Стохастическое управление
В случае стохастического управления, управляемые процессы являются
случайными (стохастическими). Начальная точка управления А и конечная В не
известны. В этом случае сам
управляемый процесс описывается стохастическими уравнени-
ями, которые, как правило, апроксимируются марковскими процессами.
Примеры систем автоматического управления
Системы автоматического управления можно описать прибли-
женно используя линейные или нелинейные дифференциальные
уравнения (детерминированный подход без учета шумов).Это
было до 60х годов: все подходы были стохастические линейные и нелинейные
дифференциальные уравнения.
Пример 1 (детерминированный)
Управление движением космического аппарата в грави-
тационном поле земли (задача двух тел).
В геоцентрической системе координат
Z r - расстояние от центра земли
З - центр земли (вся ее масса)
К.А.
r К.А. - космический аппарат
X На космический аппарат действует
З притяжение :
Y F2 [pic] ; [pic]
К.А. F2 - управляющая сила
F3 - сопротивление среды
[pic] ; [pic]
Третий закон Ньютона :
F3 F1 [pic]
Если это уравнение спроектировать на оси ко-
ординат, то получим следующие три уравнения :
(1) [pic]
(1)- система линейных дифференциальных уравнений 2-го по-
рядка, которая описывает движение космического аппа-
рата.
Силы U1,U2,U3 - силы управления.
{x(t),y(t),z(t)}[pic] r(t) - траектория
Оказывается, что в зависимости от начальных условий и па-
раметров K1,K2,K3 траектория r(t) может быть круговая,
эллипсоидная, параболическая.
Пример 2 : Нелинейная система. Описывается нелинейным дифференциальным
уравнением.
Генератор колебаний :
Можно показать, что процесс
x(t) описывается дифферен-
x(t) циальным уравнением 2-го
M порядка с нелинейным
членом [pic].
R
C L L [pic]
C Если емкость варьировать,
то [pic] может стать ну-
лем и тогда мы получим си-
нусоидальное колебание:
x(t)=a sin((t+()
(автоколебания)
Если [pic]- положительно, то амплитуда колебаний увели-
чивается с течением времени.
Если [pic]- отрицательно - амплитуда колебаний уменьша-
ется с течением времени до нуля.
Глава 2
Математическое описание систем (детерминированная терия) (идеальный случай)
Линейные системы, которые описываются дифференциальными
уравнениями называются динамическими системами.
Если система описывается алгебраическими уравнениями -
- это описание состояния равновесия (статические системы)
По определению [pic]
[pic] (1)
(1)- линейное дифференциальное уравнение n-го порядка.
Правая часть - это дифференциальное уравнение воз-
действия. Если Ly=0 (2) ,то Ly=Px.
(2)- однородное дифференциальное уравнение - описывает
линейные динамические системы без воздействия на
них. Например колебательный контур.
Правая часть уравнения (1) описывает воздействие на ли-
нейную систему или называется управлением.
Ly=x - управление.
Если есть часть Px - то это сложное управление, учитыва-
ющее скорость, ускорение.
Передаточная функция линейной системы
От дифференциального уравнения (1) можно перейти к линей-
ной системе, т.е. к некоторому четырехполюснику.
Вх W(p) Вых
Этот четырехполюсник можно создать на элементной базе или
смоделировать на ЭВМ.
От дифференциального уравнения (1) к W(p) можно перейти
двумя путями - используя символический метод и 2-е прео-
бразование Лапласа.
[pic] Сивмолический метод Хиви Сайда.
Применив символический метод к (1) получим :
[pic]
[pic] (3)
Формула (3) представляет собой отношение двух полиномов -
описание передаточной функции.
Использование преобразования Лапласа
[pic] - преобразование Лапласа, p=j(
Если мы применим преобразование Лапласа к левой части (1)
и учитывая, что [pic], получим :
[pic] (4)
X(p) Y(p)
W(p)
Если правая часть передаточной функции простейшая -
[pic], то воздействие обычное. Передаточ-
ная функция будет иметь вид :
(5) [pic] , где знамена-
тель дроби есть характеристическое уравне-
ние.
Пример : Дифференциальное уравнение 2-го порядка описы-
вается передаточной функцией :
[pic] (6)
Для нахождения решения дифференциального уравнения снача-
ла необходимо решить следующее уравнение :
[pic]
Известно, что дифференциальное уравнение 2-го порядка
имеет решение в виде комплексной экспоненты или действий
над ней. (Это зависит от корней характеристического урав-
нения). Если корни комплексные, тогда решение будет :
(7) [pic](t+[pic](t)
Если корни (( ( j( решение будет [pic] (7)(
(7) и (7)’ - решение в виде нарастающей или затухающей синусоиды, либо
обычной синусоиды, если (=0.
Устойчивость линейных систем
Линейная система полностью описывается передаточной функ-
цией, которая представляет собой :
[pic] в комплескной плоскости
p=(+j( . Эти полиномы получены из дифференциальных урав-
нений путем преобразования Лапласа.
Ставится проблема: как исследовать систему с помощью W(p)
Оказывается, что это проще сделать чем исследовать диффе-
ренциальные уравнения. Исследование по W(p) производится с помощью анализа
полюсов и нулей.
Полюсом называется то значение корня уравнения в знаменателе, при котором
Q(p)=0.
Количество корней определяется степенью полинома. Если
корни комплексно-сопряженные, то в точке, где Q([pic])=0,
W(p)=( - полюс.
Нулями W(p) называются точки на комплексной плоскости,
где полином P(p)=0.
Количество нулей определяется порядком поли-
нома.
j(
( > 0 полюсы
сопряж. пара ( [pic] [pic]
( > 0
[pic]
[pic] - полюсы (корни характеристического урав-
нения). Если корни комплексные, то они сопряженные.
Выводы :
1. Если корни характеристического уравнения Q(p)
находятся в левой полуплоскости , то система ус-
тойчива. [pic]((t(() - решение для комплексных
корней.
2. Если ( >0 , то решение будет [pic]((t(().
Система неустойчива.
Расположение нулей определяет корректирующие свойства системы, т.е.
оказывают воздействие на переходной процесс
Если нули в левой полуплоскости, то такая система называется минимально
фазовой.
Если нули в правой полуплоскости - нелинейно фазовая
система.
Если полюсы на мнимой оси, т.е. (=0, то система нахо-
дится в колебательном режиме (Система без потерь).
Передаточная функция линейной системы на мнимой оси
В этом случае после преобразований получим:
W(j()=A(()+jB(() -
Передаточная функция есть комплексное число.
Замечание: Не путать с корнями на мнимой оси.
Оказывается очень удобно исследовать W(j()на мнимой оси не с помощью нулей
и полюсов, а с использованием комплек-
сной передаточной функции.
Комплексная функция :
АЧХ - четная функция: [pic]
ФЧХ - нечетная функция: [pic]
АЧХ
ФЧХ
АЧХ показывает селективность системы по
амплитудному спектру.
ФЧХ показывает - какой сдвиг фаз получает на
выходе фильтра каждая гармоника.
Замечание: Известно, что спектр сигнала (по
Фурье) удобно представлять в ком-
плексной виде, т.е. у спектра есть АЧХ (рас-
пределение гармоник по амплитуде от частоты), и ФЧХ (рас-
пределение фаз).
Выводы: Комплексное представление спектра или передаточ-
ной функции W(p) очень удобно радиотехнике. Это
позволяет компактно записать АЧХ и ФЧХ.
Передаточная функция систем радиоавтоматики
1)
вх [pic] [pic] (( [pic] вых
Передаточная функция последовательно соединенных звень-
ев : [pic]
2)
[pic] Передаточная функция парал-
лельно соединенных звеньев:
[pic]
вх вых
[pic]
: :
: :
: :
[pic]
3) y(t) Передаточная функция системы
x(t) ((((( [pic] (((( с обратной связью:
[pic]
[pic]
Типовые звенья радиоавтоматики
1) Инерционное звено
Передаточная функция :
C
вх R вых [pic] ; [pic]
W(() АЧХ
K
[pic]
( (()= - arctgT( ФЧХ
0
(
-45(
-90(
2) Интегрирующее звено
Передаточная функция :
W(() АЧХ W(p)=[pic]
[pic] ; ФЧХ : [pic]
0 (
3) Дифференцирующее звено
C
R
R L
W(() АЧХ Передаточная функция :
W(p)=Kp
АЧХ: W(()=K(
ФЧХ: ((()=[pic]
0 (
4) Форсирующее звено
W(() АЧХ
Передаточная функция:
[pic] [pic][pic]
K АЧХ : [pic]
( ФЧХ : [pic]
0
( (()
[pic]
[pic]
0 (
5) Запаздывающее звено
АЧХ: [pic]=1 Передаточная функция :
ФЧХ: ((()=(t [pic]
((() ФЧХ
АЧХ
1
Запаздывающее звено называется линией задержки, где
t=T - время запаздывания ЛЗ. ((()=(T; [pic]
5) Колебательное звено
Передаточная функция:
[pic]
АЧХ [pic] - параметр затухания
[pic]1 - самовозбуждающаяся
система
ФЧХ
6) Неминимально фазовое звено
Передаточная функция:
АЧХ при a=b : [pic]
[pic]; W(()=1
ФЧХ при а=b : [pic] АЧХ
ФЧХ
Цифровые системы автоматического управления
Задан процесс: Будем рассматривать про-
y(t) цесс y(t) в дискретные мо-
менты времени.
Такой процесс называется с
дискретным временем.
[pic]
Значения этого процесса в
дискретные моменты :
[pic]
[pic]
[pic] - значения
Существуют два типа процесса с дискретным временем :
1)Процесс с дискретным временем и непрерывным множеством
состояний. Это означает, что функция [pic] является непре-
рывной ( если это случайный процесс, то [pic] непрерывна в
среднем квадратическом).
ПЗС
y(t) Преобразователь [pic] [pic]-
непрерывные функции
ПЗС - прибор с зарядовой связью
[pic] - интервал дискретизации во времени (квантование по
времени)
Для таких процессов составляются разностные уравнения :
[pic] - 1-е приращение, конечная разность
[pic] - 2-я разность
2) Процесс с дискретным временем и дискретным множеством
состояний.
y(t) АЦП [pic]
Процесс 2 отличается от процесса 1 тем, что [pic] записы-
вается в цифровом виде - дискретная функция, вся база
исследований другая. Квантование идет и во времени и
по уровню.
Очень часто делается бинарное квантование 0;1. В этом
случае аппаратура сильно упрощается.
Замечание :
1) В первом случае (ПЗС) если y(t)([pic], то выход-
ной процесс [pic] , т.е. такой же, но дискрет-
ный.
2) [pic] - биномиальное распределение.
Оказывается, если число уровней квантования ( 8,то
их можно отождествить с непрерывными системами.
Представление дифференциальных уравнений, описывающих
системы автоматического управления конечных разностей
(1) [pic]
[pic] - первая разность, аналог пер-
вой производной
n - непрерывное время, непрерывное множество состо-
яний.
[pic] - аналог 2й
производной
.......................................
[pic] - аналог К-той производной
Если это подставить в непрерывное дифференциальное урав-
нение то получим следующее :
(2) [pic]
Страницы: 1, 2
|