МЕНЮ


Фестивали и конкурсы
Семинары
Издания
О МОДНТ
Приглашения
Поздравляем

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ


  • Инновационный менеджмент
  • Инвестиции
  • ИГП
  • Земельное право
  • Журналистика
  • Жилищное право
  • Радиоэлектроника
  • Психология
  • Программирование и комп-ры
  • Предпринимательство
  • Право
  • Политология
  • Полиграфия
  • Педагогика
  • Оккультизм и уфология
  • Начертательная геометрия
  • Бухучет управленчучет
  • Биология
  • Бизнес-план
  • Безопасность жизнедеятельности
  • Банковское дело
  • АХД экпред финансы предприятий
  • Аудит
  • Ветеринария
  • Валютные отношения
  • Бухгалтерский учет и аудит
  • Ботаника и сельское хозяйство
  • Биржевое дело
  • Банковское дело
  • Астрономия
  • Архитектура
  • Арбитражный процесс
  • Безопасность жизнедеятельности
  • Административное право
  • Авиация и космонавтика
  • Кулинария
  • Наука и техника
  • Криминология
  • Криминалистика
  • Косметология
  • Коммуникации и связь
  • Кибернетика
  • Исторические личности
  • Информатика
  • Инвестиции
  • по Зоология
  • Журналистика
  • Карта сайта
  • Математическое программирование

    Математическое программирование

    Математическое программирование

    1. Общая задача линейного программирования (ЗЛП):

    [pic]

    Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r ( n,

    (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х10, x20,

    ... , xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП.

    Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую

    функцию (2) в min или max (оптимум).

    2. Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее

    привести к определенной (симплексной) форме:

    [pic](2`) f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b0 ( min

    Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай

    r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если

    оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.

    В системе (1`) неизвестные х1, х2, ... , хr называются базисными

    (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1),

    остальные хr+1, ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется

    базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а

    соответствующее ему значение целевой функции f(x10, ... , xr0,0, ... ,0)

    называется базисным.

    В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:

    а) система (1`) удовлетворяет условиям :

    1) все ограничения - в виде уравнений;

    2) все свободные члены неотрицательны, т.е. bi ( 0;

    3) имеет базисные неизвестные;

    б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :

    1) содержит только свободные неизвестные;

    2) все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0;

    3) обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max

    f = - min(-f)).

    3) Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует

    симплекс - матрица :

    1 0 ... 0 ... 0 a1,r+1 ... a1s ... a1n b1

    0 1 ... 0 ... 0 a2,r+1 ... a2s ... a2n b2

    .................................................................

    0 0 ... 1 ... 0 ai,r+1 ... ais ... ain bi

    .................................................................

    0 0 ... 0 ... 1 ar,r+1 ... ars ... arn br

    0 0 ... 0 ... 0 cr+1 ... cs ... cn b0

    Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных )

    соответствует своя симплекс - матрица , базисное решение х =

    (b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции f(b1,b2,

    ... ,br, 0, ... ,0) = b0 (см. Последний столбец !).

    Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-

    матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то

    соответствующий этой матрице план оптимален,

    т.е. сj ( 0 (j = r+1, n) => min f (b1, ... ,b2,0, ... ,0) = b0.

    Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец

    (S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы

    неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs > 0, ais ( 0

    ( i= 1,r ) => min f = -(.

    Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума

    надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais > 0 и

    следующих преобразований (симплексных):

    1) все элементы i-й строки делим на элемент a+is;

    2) все элементы S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями;

    3) все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника,

    что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:

    [pic]

    akl` = akbais - ailaks = akl - ailaks;

    ais ais

    bk` = bkais - biaks; cl` = clais - csail

    ais ais

    Определение. Элемент ais+ называется разрешающим, если преобразование

    матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения,

    целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится

    разрешающий элемент, также называются разрешающими.

    Критерий выбора разрешающего элемента. Если элемент ais+ удовлетворяет

    условию

    bi = min bk

    ais0 aks0+

    где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим.

    4. Алгоритм симплекс-метода (по минимизации).

    5) систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме;

    6) составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в

    симплексной форме;

    7) проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он

    выполняется, то решение закончено;

    8) при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия

    отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение

    закончено - нет оптимального плана;

    9) в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для

    перехода к следующей матрице, для чего :

    а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи

    тельных элементов целевой

    строки;

    б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего

    элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент;

    6) c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к

    следующей матрице;

    7) вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см.

    п. 3)

    Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или

    его отсутствие

    Замечания.

    1) Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем

    ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-

    преобразованиях.

    2) преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при

    этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно

    ограничиться вычислением элементов последнего столбца.

    3) при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений

    остаются неотрицательными; появление отрицатель

    ного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.

    4) правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем

    подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы

    должны совпасть.

    5. Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при двух

    неизвестных)

    Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или

    многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических

    образов неравенств системы. Целевая функция f = c1x1 + c2x2 геометрически

    изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n

    (с1,с2).

    Теорема. При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n

    значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении -

    убывают.

    На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП.

    6. Алгоритм графического метода решения ЗЛП.

    7) В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим

    каждому неравенству системы ограничений;

    8) найти полуплоскости решения каждого неравенства системы (обозначить

    стрелками);

    9) найти многоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений

    как пересечение полуплоскостей;

    10) построить вектор n (с1,с2) по коэффициентам целевой функции f = c1x1 +

    c2x2;

    11) в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну,

    например, через начало координат;

    12) перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области

    решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в

    противоположном направлении.

    13) найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения

    функции в этих точках (ответы).

    Постановка транспортной задачи.

    Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию

    стоимости:

    Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А1, А2,

    ..., Аm соответственно в количествах а1, а2, ..., аm единиц, требуется

    доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1, В2, ..., Вn

    соответственно в количествах b1, b2, ..., bn единиц. Стоимость перевозки

    (тариф) единицы продукта из Ai в Bj известна для всех маршрутов AiBj и

    равна Cij (i=1,m; j=1,n). Требуется составить такой план перевозок, при

    котором весь груз из пунктов отправления вывозиться и запросы всех пунктов

    потребления удовлетворяются (закрытая модель), а суммарные транспортные

    расходы минимальны.

    Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки количество

    перевозимого груза из Ai в Bj груза Xij > 0, а в маленькие клетки -

    соответствующие тарифы Cij:

    [pic]

    Математическая модель транспортной задачи.

    Из предыдущей таблицы легко усматривается и составляется математическая

    модель транспортной задачи для закрытой модели [pic]

    Число r = m + n - 1, равное рангу системы (1), называется рангом

    транспортной задачи. Если число заполненных клеток (Xij № 0) в таблице

    равно r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то

    план вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько

    нулей (условно заполненные клетки), чтобы общее число заполненных клеток

    было равно r.

    Случай открытой модели даi № дbj легко сводится к закрытой модели путем

    введения фиктивного потребителя Bn+1 c потребностью bn+1=дai-дbj, либо -

    фиктивного поставщика Аm+1 c запасом am+1=дbj-дai ; при этом тарифы

    фиктивных участников принимаются равными 0.

    Способы составления 1-таблицы (опорного плана).

    Способ северо-западного угла (диагональный). Сущность способа заключается в

    том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северо-западная)

    оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо

    полностью вывозиться груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность

    Bj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются

    запасы ai и не удовлетворяются потребности bj . В заключение проверяют, что

    найденные компоненты плана Xij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным

    уравнениям и что выполняется условие невырожденности плана.

    Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что на каждом шаге

    заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший

    тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая

    из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.

    Метод потенциалов решения транспортной задачи.

    Определение: потенциалами решения называются числа ai®Ai, bj®Bj,

    удовлетворяющие условию ai+bj=Cij (*) для всех заполненных клеток (i,j).

    Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n

    неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее определенности

    одному неизвестному придают любое число (обычно a1=0), тогда все остальные

    неизвестные определяются однозначно.

    Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X0 транспортной

    задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия ai+bj Ј Ci j, то

    X0 является оптимальным планом транспортной задачи.

    Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице)

    так, чтобы транспортные расходы не увеличились.

    Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность клеток,

    удовлетворяющая условиям:

    одна клетка пустая, все остальные занятые;

    любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце;

    никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце

    .

    Пустой клетке присваивают знак « + », остальным - поочередно знаки « - » и

    « + ».

    Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала

    находят незаполненную клетку (r, s), в которой ar+bs>Crs, и строят

    соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число X=min{Xij}.

    Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:

    в плюсовые клетки добавляем X;

    из минусовых клеток отнимаем Х;

    все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

    Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X1) Ј f(X0);

    оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов

    обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда

    существует.

    Алгоритм метода потенциалов.

    проверяем тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим

    ее к закрытой;

    находим опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из

    способов - северо-западного угла или наименьшего тарифа;

    проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на

    невыражденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные

    клетки с помощью « 0 »;

    проверяем опорный план на оптимальность, для чего:

    а) составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам;

    б) находим одно из ее решений при a1=0;

    в) находим суммы ai+bj=Cўij («косвенные тарифы») для всех пустых клеток;

    г) сравниваем косвенные тарифы с истинными: если косвенные тарифы не

    превосходят соответствующих истинных(Cўij Ј Cij) во всех пустых клетках, то

    план оптимален (критерий оптимальности). Решение закончено: ответ дается в

    виде плана перевозок последней таблицы и значения min f.

    Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему

    шагу.

    Для перехода к следующей таблице (плану):

    а) выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф больше истинного

    (Cўij= ai+bj > Cij );

    б) составляем цикл пересчета для этой клетки и расставляем знаки « + », « -

    » в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке « + »;

    в) находим число перерасчета по циклу: число X=min{Xij}, где Xij - числа в

    заполненных клетках со знаком « - »;

    г) составляем новую таблицу, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из

    минусовых клеток цикла

    См. п. 3 и т.д.

    Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходим к ответу, ибо

    транспортная задача всегда имеет решение.


    Приглашения

    09.12.2013 - 16.12.2013

    Международный конкурс хореографического искусства в рамках Международного фестиваля искусств «РОЖДЕСТВЕНСКАЯ АНДОРРА»

    09.12.2013 - 16.12.2013

    Международный конкурс хорового искусства в АНДОРРЕ «РОЖДЕСТВЕНСКАЯ АНДОРРА»




    Copyright © 2012 г.
    При использовании материалов - ссылка на сайт обязательна.