Распределенные алгоритмы

более k раз, т.е. ?€k раз, но не ?€k+1 раз. В результате количество

расположений, где это выполняется, равно [pic], т.е. [pic] ( для k <

i ).

Общее количество передач во всех расположениях равно:

[pic],

что равняется [pic]. Сумма [pic]известна как i-е гармоническое число,

обозначаемое ?i. В качестве Упражнения 7.3 оставлено доказательство

тождества [pic].

Далее мы суммируем по i количество передач маркера, чтобы получить общее

количество передач (исключая передачи ) во всех расположениях. Оно

равно

[pic].

Добавляя N(N-1)! передач маркера для , мы получаем общее количество

передач, равное

[pic].

Т.к. это число выведено для (N-1)! различных расположений, среднее по всем

расположениям, очевидно, равно N(?N, что составляет ?0.69N logN (см.

Упр.7.4).

7.2.2 Алгоритм Petersen / Dolev-Klawe-Rodeh

Алгоритм Чанга-Робертса достигает сложности сообщений O(N logN) в среднем,

но не в наихудшем случае. Алгоритм со сложностью O(N logN) в наихудшем

случае был дан Франклином [Franklin; Fra82], но этот алгоритм требует,

чтобы каналы были двунаправленными. Petersen [Pet82] и Dolev, Klawe, Rodeh

[DKR82] независимо разработали очень похожий алгоритм для однонаправленных

колец, решающий задачу с использованием только O(N logN) сообщений в

наихудшем случае. Алгоритм требует, чтобы каналы подчинялись дисциплине

FIFO.

Сначала алгоритм вычисляет наименьший идентификатор и сообщает его каждому

процессу, затем процесс с этим идентификатором становится лидером, а все

остальные терпят поражение. Алгоритм легче понять, если представить, что он

выполняется идентификаторами, а не процессами. Изначально каждый

идентификатор активен, но на каждом круге некоторые идентификаторы

становятся пассивными, как будет показано позднее. При обходе круга

активный идентификатор сравнивает себя с двумя соседними активными

идентификаторами по часовой стрелке и против нее. Если он является

локальным минимумом, он остается в круге, иначе он становится пассивным.

Т.к. все идентификаторы различны, идентификатор рядом с локальным минимумом

сам не является локальным минимумом, откуда следует, что не менее половины

идентификаторов выбывают из круга при каждом обходе. Следовательно, после

не более чем logN кругов остается только один активный идентификатор,

который и является победителем.

[pic]

Рис.7.6 Процесс p получает текущие идентификаторы q и r.

Этот принцип может быть непосредственно реализован в двунаправленных сетях,

как это сделано в алгоритме Франклина [Fra82]. В ориентированных кольцах

сообщения можно посылать только по часовой стрелке, что затрудняет

получение соседнего активного идентификатора в этом направлении; см. Рис.

7.6. Идентификатор q нужно сравнить с r и p; идентификатор r можно послать

q, но идентификатор p нужно было бы передавать против направления каналов.

Чтобы сравнить q и с r, и с p, идентификатор q передается (в направлении

кольца) процессу, который имеет идентификатор p, а r передается не только

процессу с идентификатором q, но и дальше, процессу с идентификатором p.

Если q является единственным активным идентификатором в начале обхода

круга, первый идентификатор, который q встречает при обходе, равен q (т.е.

в этом случае p = q). Когда это происходит, идентификатор q выигрывает

выборы.

Алгоритм для процессов в однонаправленном кольце обозначен как Алгоритм

7.7. Процесс p является активным в круге, если он в начале круга имеет

активный идентификатор cip. Иначе p является пассивным и просто пропускает

через себя все получаемые сообщения. Активный процесс посылает свой текущий

идентификатор следующему активному процессу, и получает текущий

идентификатор предыдущего активного процесса, используя сообщения .

Полученный идентификатор сохраняется (в переменной acnp), и если он не

выбывает из круга, он будет текущим идентификатором p в следующем круге.

Чтобы определить, остается ли идентификатор acnp в круге, его сравнивают с

cip и активным идентификатором, полученным в сообщении . Процесс p

посылает сообщение , чтобы следующий активный процесс мог

провести такое же сравнение. Исключение возникает, когда acnp = cip; в этом

случае остался один активный идентификатор и об этом сообщается всем

процессам в сообщении .

var cip : P init p ; (* Текущий идентификатор p *)

acnp : P init udef ; (* Идентификатор соседа против часовой

стрелки *)

winp : P init udef ; (* Идентификатор победителя *)

statep : (active, passive, leader, lost) init active ;

begin if p - инициатор then statep := active else statep := passive ;

while winp = udef do

begin if statep = active then

begin send ; receive ; acnp := q ;

if acnp = cip then (* acnp - минимум *)

begin send ; winp := acnp ;

receive

end

else (* acnp - текущий идентификатор соседа *)

begin send ; receive ;

if acnp < cip and acnp < q

then cip := acnp

else statep := passive

end

end

else (* statep = passive *)

begin receive ; send ;

receive m ; send m ;

(* m - либо , либо *)

if m - then winp := q

end

end ;

if p = winp then statep := leader else statep := lost

end

Алгоритм 7.7 Алгоритм Petersen / Dolev-Klawe-Rodeh.

Теорема 7.7 Алгоритм 7.7 решает задачу выбора для однонаправленных сетей с

использованием O(N logN) сообщений.

Доказательство. Будем говорить, что процесс находится на i-м круге, когда

он выполняет основной цикл в i-й раз. Обходы круга не синхронизированы

глобально; возможно, что в различных частях кольца один процесс на

несколько кругов впереди другого. Но, т.к. каждый процесс отправляет и

получает в каждом круге ровно по два сообщения и каналы подчиняются

дисциплине FIFO, то сообщение всегда будет получено в том же круге, в каком

оно было послано. На первом круге все инициаторы активны и все имеют

различные «текущие идентификаторы».

Утверждение 7.8 Если круг i начинается с k (k>1) активными процессами, и

все процессы имеют различные ci, то в круге остаются не меньше 1 и не

больше k/2 процессов. В конце круга снова все текущие идентификаторы

активных процессов различны и включают наименьший идентификатор.

Доказательство. Путем обмена сообщениями , которые пропускаются

пассивными процессами, каждый активный процесс получает текущий

идентификатор своего активного соседа против часовой стрелки, который

всегда отличается от его собственного идентификатора. Далее, каждый

активный процесс продолжает обход круга, передавая сообщения ,

благодаря которым каждый активный процесс получает текущий идентификатор

своего второго активного соседа против часовой стрелки. Теперь все активные

процессы имеют различные значения acn, откуда следует, что в конце круга

все оставшиеся в круге идентификаторы различны. По крайней мере, остается

идентификатор, который был наименьшим в начале круга, т.е. остается хотя бы

один процесс. Идентификатор рядом с локальным минимумом не является

локальным минимумом, откуда следует, что количество оставшихся в круге не

превышает k/2.

Из Утверждения 7.8 следует, что существует круг с номером ?€?logN?+1,

который начинается ровно с одним активным идентификатором, а именно, с

наименьшим среди идентификаторов инициаторов.

Утверждение 7.9 Если круг начинается ровно с одним активным процессом p с

текущим идентификатором cip, то алгоритм завершается после этого круга с

winq = cip для всех q.

Доказательство. Сообщение пропускается всеми процессами и, в

конце концов, его получает p. Процесс p обнаруживает, что acnp = cip и

посылает по кольцу сообщение , вследствие чего все процессы

выходят из основного цикла с winp = acnp.

Алгоритм завершается в каждом процессе и все процессы согласовывают

идентификатор лидера (в переменной winp); этот процесс находится в

состоянии лидер, а остальные - в состоянии проигравший.

Всего происходит не более ?logN?+1 обходов круга, в каждом из которых

передается ровно 2N сообщений, что доказывает, что сложность сообщений

ограничена 2N logN + O(N). Теорема 7.7 доказана.

Dolev и др. удалось улучшить свой алгоритм до 1.5N logN, после чего

Petersen получил алгоритм, использующий только 1.44N logN сообщений. Этот

алгоритм снова был улучшен Dolev и др. до 1.356N logN. Верхняя граница в

1.356N logN считалась наилучшей для выбора на кольцах более 10 лет, но была

улучшена до 1.271N logN Higham и Przytycka [HP93].

7.2.3 Вывод нижней границы

В этом подразделе будет доказана нижняя граница сложности выбора на

однонаправленных кольцах. Т.к. выбор можно провести за одно выполнение

децентрализованного волнового алгоритма, нижняя граница сложности

децентрализованных волновых алгоритмов для колец будет получена как

заключение.

Результат получен Pachl, Korach и Rotem [PKR84] при следующих

предположениях.

Граница доказывается для алгоритмов, вычисляющих наименьший идентификатор.

Если существует лидер, наименьший идентификатор может быть вычислен с

помощью N сообщений, а если наименьший идентификатор известен хотя бы

одному процессу, процесс с этим идентификатором может быть выбран опять же

за N сообщений. Следовательно, сложность задач выбора и вычисления

наименьшего идентификатора различаются не более чем на N сообщений.

Кольцо является однонаправленным.

Процессам не известен размер кольца.

Предполагается, что каналы FIFO. Это предположение не ослабляет результат,

потому что сложность не-FIFO алгоритмов не лучше сложности FIFO алгоритмов.

Предполагается, что все процессы являются инициаторами. Это предположение

не ослабляет результат, потому что оно описывает ситуацию, возможную для

каждого децентрализованного алгоритма.

Предполагается, что алгоритмы управляются сообщениями; т.е. после

отправления сообщений при инициализации алгоритма, процесс посылает

сообщения в дальнейшем только после получения очередного сообщения. Т.к.

рассматриваются асинхронные системы, общие алгоритмы не достигают лучшей

сложности, чем алгоритмы, управляемые сообщениями. Действительно, если A -

асинхронный алгоритм, то управляемый сообщениями алгоритм B может быть

построен следующим образом. После инициализации и после получения любого

сообщения B посылает максимальное количество сообщений, которое можно

послать в A, не получая при этом сообщений, и только затем получает

следующее сообщение. Алгоритм B не только управляется сообщениями, но кроме

того, каждое вычисление B является возможным вычислением A (возможно, при

довольно пессимистическом распределении задержек передачи сообщений).

Три последних предположения устраняют недетерминизм системы. При этих

предположениях каждое вычисление, начинающееся с данной начальной

конфигурации, содержит одно и то же множество событий.

В этом разделе через s = (s1, ..., sN), t и т.п. обозначаются

последовательности различных идентификаторов процессов. Множество всех

таких последовательностей обозначено через D, т.е. D = {(s1, ..., sk): si ?

P и i ? j ? si ? sj}. Длина последовательности s обозначается через

len(s), а конкатенация последовательностей s и t обозначается st.

Циклическим сдвигом s называется последовательность s's'', где s = s''s' ;

она имеет вид si, ..., sN, s1, ..., si-1. Через CS(s) (cyclic shift -

циклический сдвиг) обозначено множество циклических сдвигов s, и

естественно |CS(s)| = len(s).

Говорят, что кольцо помечено последовательностью (s1, ..., sN), если

идентификаторы процессов с s1 по sN расположены на кольце (размера N) в

таком порядке. Кольцо, помеченное s также называют s-кольцом. Если t -

циклический сдвиг s, то t-кольцо совпадает с s-кольцом.

С каждым сообщением, посылаемым в алгоритме, свяжем последовательность

идентификаторов процессов, называемую следом (trace) сообщения. Если

сообщение m было послано процессом p до того, как p получил какое-либо

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36