Программная реализация модального управления для линейных стационарных систем

Программная реализация модального управления для линейных стационарных систем

Курсовая работа:

«Программная реализация модального управления

для линейных стационарных систем»

Постановка задачи:

1. Для объекта управления с математическим описанием

[pic], (1) [pic]- задано,

где [pic] - n-мерный вектор состояния, [pic],

[pic]- начальный вектор состояния,

[pic]- скалярное управление,

[pic]- матрица действительных коэффициентов,

[pic]- матрица действительных коэффициентов,

найти управление в функции переменных состояния объекта, т.е.

[pic], (2)

где[pic]- матрица обратной связи, такое, чтобы замкнутая система была

устойчивой.

2. Корни характеристического уравнения замкнутой системы

[pic] (3)

должны выбираться по усмотрению (произвольно) с условием устойчивости

системы (3).

Задание:

1. Разработать алгоритм решения поставленной задачи.

2. Разработать программу решения поставленной задачи с интерактивным

экранным интерфейсом в системах Borland Pascal, Turbo Vision, Delphi - по

выбору.

3. Разработать программу решения систем дифференциальных уравнений (1) и

(3) с интерактивным экранным интерфейсом.

4. Разработать программу графического построения решений систем (1) и (3) с

интерактивным экранным интерфейсом.

Введение

Наряду с общими методами синтеза оптимальных законов управления для

стационарных объектов всё большее применение находят методы, основанные на

решении задачи о размещении корней характеристического уравнения замкнутой

системы в желаемое положение. Этого можно добиться надлежащим выбором

матрицы обратной связи по состоянию. Решение указанной задачи является

предметом теории модального управления (термин связан с тем, что корням

характеристического уравнения соответствуют составляющие свободного

движения, называемые модами).

Алгоритм модального управления.

Соглашения:

. Задаваемый объект управления математически описывается уравнением

[pic], (1)

где [pic] и [pic] - матрицы действительных коэффициентов,

[pic] - n-мерный вектор состояния

[pic]- скалярное управление,

[pic] - порядок системы (1).

. Обратная связь по состоянию имеет вид

[pic], (2)

где[pic]- матрица обратной связи.

. Система с введенной обратной связью описывается уравнением

[pic] (3)

. Характеристическое уравнение системы (1) имеет вид

[pic] (4)

. Характеристическое уравнение системы (3) с задаваемыми (желаемыми)

корнями [pic]имеет вид

[pic] (5)

Алгоритм:

1. Для исходной системы (1) составляем матрицу управляемости

[pic]

2. Обращаем матрицу [pic], т.е. вычисляем [pic].

Если [pic] не существует (т.е. матрица [pic] - вырожденная), то

прекращаем вычисления: полное управление корнями характеристического

уравнения (5) не возможно.

3. Вычисляем матрицу [pic]

4. Составляем матрицу

[pic]

5. Вычисляем матрицу, обратную матрице [pic], т.е. [pic]

6. Вычисляем матрицу [pic] - матрицу [pic] в канонической форме фазовой

переменной:

[pic]

где [pic]- коэффициенты характеристического уравнения (4).

Матрица [pic] в канонической форме имеет вид

[pic]

7. Составляем вектор [pic] , элементам которого являются коэффициенты

характеристического уравнения (4), т.е. [pic], [pic],

где [pic] - элементы матрицы [pic].

8. Находим коэффициенты характеристического уравнения (5) (см. пояснения) и

составляем из них вектор [pic].

9. Вычисляем вектор [pic].

[pic] - искомая матрица обратной связи системы (3), но она вычислена для

системы, матрицы которой заданы в канонической форме фазовой переменной

([pic] и [pic]).

10. Для исходной системы (3) матрица обратной связи получается по формуле

[pic]

Матрица [pic] - искомая матрица обратной связи.

Пояснения к алгоритму:

В данной работе рассматривается случай, когда управление единственно и

информация о переменных состояния полная. Задача модального управления

тогда наиболее просто решается, если уравнения объекта заданы в

канонической форме фазовой переменной.

Так как управление выбрано в виде линейной функции переменных состояния

[pic], где [pic] является матрицей строкой [pic]. В таком случае уравнение

замкнутой системы приобретает вид [pic]. Здесь

[pic]

[pic]

Характеристическое уравнение такой замкнутой системы будет следующим

[pic]

Поскольку каждый коэффициент матрицы обратной связи [pic] входит только в

один коэффициент характеристического уравнения, то очевидно, что выбором

коэффициентов [pic] можно получить любые коэффициенты характеристического

уравнения, а значит и любое расположение корней.

Если же желаемое характеристическое уравнение имеет вид

[pic],

то коэффициенты матрицы обратной связи вычисляются с помощью соотношений:

[pic]

Если при наличии одного управления нормальные уравнения объекта заданы не

в канонической форме (что наиболее вероятно), то, в соответствии с пунктами

№1-6 алгоритма, от исходной формы с помощью преобразования [pic] или [pic]

нужно перейти к уравнению [pic] в указанной канонической форме.

Управление возможно, если выполняется условие полной управляемости (ранг

матрицы управляемости M должен быть равен n). В алгоритме об управляемости

системы судится по существованию матрицы [pic]: если она существует, то

ранг матрицы равен ее порядку (n). Для объекта управления с единственным

управлением матрица [pic] оказывается также единственной.

Для нахождения коэффициентов [pic] характеристического уравнения (5), в

работе используется соотношения между корнями [pic] и коэффициентами

[pic] линейного алгебраического уравнения степени n:

[pic], (k = 1, 2, ... , n)

где многочлены [pic]- элементарные симметрические функции, определяемые

следующим образом:

[pic],

[pic],

[pic],

...

[pic]

где Sk - сумма всех [pic] произведений, каждое из которых содержит k

сомножителей xj с несовпадающими коэффициентами.

Программная реализация алгоритма.

Текст программной реализации приведен в ПРИЛОЖЕНИИ №1. Вот несколько

кратких пояснений.

. Программа написана на языке Object Pascal при помощи средств Delphi 2.0,

и состоит из следующих основных файлов:

KursovayaWork.dpr

MainUnit.pas

SubUnit.pas

Matrix.pas

Operates.pas

HelpUnit.pas

OptsUnit.pas

. KursovayaWork.dpr - файл проекта, содержащий ссылки на все формы проекта

и инициализирующий приложение.

. В модуле MainUnit.pas находится описание главной формы приложения, а

также сконцентрированы процедуры и функции, поддерживаюшие нужный

интерфейс программы.

. Модули SubUnit.pas и Operates.pas содержат процедуры и функции,

составляющие смысловую часть программной реализации алгоритма, т.е.

процедуры решения задачи модально управления, процедуры решения систем

дифференциальных уравнений, процедуры отображения графиков решений систем

и т.д. Там также находятся процедуры отображения результатов расчетов на

экран.

. В модуле Matrix.pas расположено описание класса TMatrix - основа

матричных данных в программе.

. Модули HelpUnit.pas и OptsUnit.pas носят в программе вспомогательный

характер.

. Для решения систем дифференциальных уравнений использован метод Рунге-

Кутта четвертого порядка точности с фиксированным шагом. Метод был

позаимствован из пакета программ NumToolBox и адаптирован под новую

модель матричных данных.

. Обращение матриц производится методом исключения по главным диагональным

элементам (метод Гаусса). Этот метод так же был позаимствован из

NumToolBox и соответствующе адаптирован.

Пориложение.

program KursovayaWork;

uses

Forms,

MainUnit in 'MainUnit.pas' {Form_Main},

OptsUnit in 'OptsUnit.pas' {Form_Options},

SubUnit in 'SubUnit.pas',

Matrix in 'Matrix.pas',

Operates in 'Operates.pas',

HelpUnit in 'HelpUnit.pas' {Form_Help};

{$R *.RES}

begin

Application.Initialize;

Application.Title := 'Модальное управление';

Application.CreateForm(TForm_Main, Form_Main);

Application.CreateForm(TForm_Options, Form_Options);

Application.CreateForm(TForm_Help, Form_Help);

Application.Run;

end.

unit MainUnit;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs,

ComCtrls, Tabnotbk, Menus, StdCtrls, Spin, ExtCtrls, Buttons, Grids,

OleCtrls, VCFImprs, GraphSvr, ChartFX {, ChartFX3};

type

TForm_Main = class(TForm)

BevelMain: TBevel;

TabbedNotebook_Main: TTabbedNotebook;

SpinEdit_Dim: TSpinEdit;

BitBtn_Close: TBitBtn;

BitBtn_Compute: TBitBtn;

StringGrid_Ap0: TStringGrid;

StringGrid_Anp0: TStringGrid;

StringGrid_Roots: TStringGrid;

StringGrid_Kpp0: TStringGrid;

StringGrid_Bp0: TStringGrid;

RadioGroup_RootsType: TRadioGroup;

Label_A1p0: TLabel;

Label_Ap0: TLabel;

Label_mBp0: TLabel;

Label_Roots: TLabel;

Label_Kpp0: TLabel;

BevelLine: TBevel;

Label_Dim: TLabel;

StringGrid_Ap1: TStringGrid;

StringGrid_Bp1: TStringGrid;

Label_Ap1: TLabel;

Label_Bp1: TLabel;

StringGrid_Kpp1: TStringGrid;

Label_Kpp1: TLabel;

StringGrid_InCond: TStringGrid;

Label_InCond: TLabel;

Label_U: TLabel;

Edit_U: TEdit;

BitBtn_Options: TBitBtn;

BitBtn_Help: TBitBtn;

StringGrid_ABKpp1: TStringGrid;

Label_ABKpp1: TLabel;

Edit_W: TEdit;

Label_w: TLabel;

RadioGroupChart: TRadioGroup;

ChartFX: TChartFX;

LabelW1: TLabel;

StringGrid_Solve1: TStringGrid;

StringGrid_Solve2: TStringGrid;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

procedure BitBtn_CloseClick(Sender: TObject);

procedure BitBtn_OptionsClick(Sender: TObject);

procedure BitBtn_ComputeClick(Sender: TObject);

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure SpinEdit_DimChange(Sender: TObject);

procedure StringGrid_RootsSetEditText(Sender: TObject; ACol,

ARow: Longint; const Value: string);

procedure RadioGroup_RootsTypeClick(Sender: TObject);

procedure TabbedNotebook_MainChange(Sender: TObject; NewTab: Integer;

var AllowChange: Boolean);

procedure StringGrid_SetEditText(Sender: TObject; ACol,

ARow: Longint; const Value: string);

procedure BitBtn_HelpClick(Sender: TObject);

procedure RadioGroupChartClick(Sender: TObject);

private

procedure FillFixedCellsInAllGrids;

procedure FillCellsInAllGrids;

public

procedure BindGrids;

procedure UnBindGrids;

end;

var

Form_Main: TForm_Main;

implementation

uses Matrix, SubUnit, OptsUnit, Operates, CFXOCX2, HelpUnit;

const

DefOptions = [goFixedVertLine, goFixedHorzLine,

goVertLine, goHorzLine,

goColSizing, goEditing,

goAlwaysShowEditor, goThumbTracking];

{$R *.DFM}

procedure TForm_Main.FillFixedCellsInAllGrids;

var

Order : TOrder;

i: byte;

Str: string;

begin

Order := SpinEdit_Dim.Value;

for i := 1 to Order do

begin

Str := IntToStr(i);

StringGrid_Ap0.Cells[0, i] := Str;

StringGrid_Ap0.Cells[i, 0] := Str;

StringGrid_Bp0.Cells[0, i] := Str;

StringGrid_ANp0.Cells[i, 0] := Str;

StringGrid_ANp0.Cells[0, i] := Str;

StringGrid_Roots.Cells[i, 0] := Str;

StringGrid_Kpp0.Cells[i, 0] := Str;

StringGrid_Ap1.Cells[0, i] := Str;

StringGrid_Ap1.Cells[i, 0] := Str;

StringGrid_Bp1.Cells[0, i] := Str;

StringGrid_ABKpp1.Cells[i, 0] := Str;

StringGrid_ABKpp1.Cells[0, i] := Str;

StringGrid_InCond.Cells[i, 0] := Str;

StringGrid_Kpp1.Cells[i, 0] := Str;

StringGrid_Solve1.Cells[i, 0] := 'X' + IntToStr(i);

StringGrid_Solve2.Cells[i, 0] := 'X' + IntToStr(i);

StringGrid_Solve1.Cells[0, 0] := 'Время';

StringGrid_Solve2.Cells[0, 0] := 'Время';

end;

end;

procedure TForm_Main.FillCellsInAllGrids;

var

Order : TOrder;

i, j : byte;

begin

Order := SpinEdit_Dim.Value;

for i := 1 to Order do

for j := 1 to Order do

begin

StringGrid_Ap0.Cells[j, i] := '0';

StringGrid_Ap0.Cells[i, i] := '1';

StringGrid_Bp0.Cells[1, i] := '0';

StringGrid_Roots.Cells[i, 1] := '-1';

StringGrid_Roots.Cells[i, 2] := '0';

StringGrid_Kpp0.Cells[i, 1] := '0';

StringGrid_Ap1.Cells[j, i] := '0';

StringGrid_Ap1.Cells[i, i] := '1';

StringGrid_Bp1.Cells[1, i] := '0';

StringGrid_ABKpp1.Cells[j, i] := '0';

StringGrid_ABKpp1.Cells[i, i] := '1';

StringGrid_InCond.Cells[i, 1] := '0';

StringGrid_Kpp1.Cells[i, 1] := '0';

end;

FillFixedCellsInAllGrids;

StringGrid_Roots.Cells[0, 1] := 'Re';

StringGrid_Roots.Cells[0, 2] := 'Im';

StringGrid_Bp1.Cells[1, 0] := '1';

StringGrid_Bp0.Cells[1, 0] := '1';

end;

procedure TForm_Main.BindGrids;

begin

CopyGrid(StringGrid_Ap1, StringGrid_Ap0);

CopyGrid(StringGrid_Bp1, StringGrid_Bp0);

CopyGrid(StringGrid_Kpp1, StringGrid_Kpp0);

StringGrid_Ap1.Options := DefOptions - [goEditing];

StringGrid_Bp1.Options := DefOptions - [goEditing];

StringGrid_Kpp1.Options := DefOptions - [goEditing];

end;

procedure TForm_Main.UnBindGrids;

begin

StringGrid_Ap1.Options := DefOptions;

StringGrid_Bp1.Options := DefOptions;

StringGrid_Kpp1.Options := DefOptions;

end;

procedure TForm_Main.BitBtn_CloseClick(Sender: TObject);

begin

Close;

end;

procedure TForm_Main.BitBtn_OptionsClick(Sender: TObject);

var

V0, V1, V2, V3: LongInt;

LS: TCheckBoxState;

begin

with Form_Options do

begin

V0 := SpinEdit0.Value;

V1 := SpinEdit1.Value;

V2 := SpinEdit2.Value;

V3 := SpinEdit3.Value;

LS := CheckBox_Link.State;

ShowModal;

if ModalResult = mrCancel then

begin

SpinEdit0.Value := V0;

SpinEdit1.Value := V1;

SpinEdit2.Value := V2;

SpinEdit3.Value := V3;

CheckBox_Link.State := LS;

end

else

if ((SpinEdit0.Value <> V0) or (SpinEdit1.Value <> V1)) or

((SpinEdit2.Value <> V2) or (SpinEdit3.Value <> V3)) then

begin

BitBtn_Compute.Enabled := True;

case BitBtn_Compute.Tag of

4, 5 :BitBtn_Compute.Tag := BitBtn_Compute.Tag - 4;

6, 7 :BitBtn_Compute.Tag := BitBtn_Compute.Tag - 4;

8, 9 :BitBtn_Compute.Tag := BitBtn_Compute.Tag - 8;

10, 11 :BitBtn_Compute.Tag := BitBtn_Compute.Tag - 8;

12, 13 :BitBtn_Compute.Tag := BitBtn_Compute.Tag - 12;

14, 15 :BitBtn_Compute.Tag := BitBtn_Compute.Tag - 12;

end;

end;

end;

end;

procedure TForm_Main.BitBtn_ComputeClick(Sender: TObject);

begin

BitBtn_Compute.Enabled := False;

if Form_Options.CheckBox_Link.State = cbChecked then BindGrids;

case TabbedNotebook_Main.PageIndex of

0 : begin

ComputeFromPage0;

BitBtn_Compute.Tag := BitBtn_Compute.Tag + 1;

end;

1 : begin

ComputeFromPage1;

ShowChart(Succ(RadioGroupChart.ItemIndex));

BitBtn_Compute.Tag := BitBtn_Compute.Tag + 14;

end;

2 : begin

ComputeFromPage2;

BitBtn_Compute.Tag := BitBtn_Compute.Tag + 4;

end;

3 : begin

ComputeFromPage3;

BitBtn_Compute.Tag := BitBtn_Compute.Tag + 8;

end;

end;

end;

procedure TForm_Main.FormCreate(Sender: TObject);

const

FirstColWidth = 20;

begin

StringGrid_Ap0.ColWidths [0] := FirstColWidth;

StringGrid_Anp0.ColWidths [0] := FirstColWidth;

StringGrid_Bp0.ColWidths [0] := FirstColWidth;

StringGrid_Roots.ColWidths [0] := FirstColWidth;

StringGrid_Ap1.ColWidths [0] := FirstColWidth;

StringGrid_ABKpp1.ColWidths [0] := FirstColWidth;

StringGrid_Bp1.ColWidths [0] := FirstColWidth;

StringGrid_Kpp0.ColWidths [0] := FirstColWidth;

StringGrid_Kpp1.ColWidths [0] := FirstColWidth;

Страницы: 1, 2, 3