Выбор оптимального портфеля ценных бумаг инвестиционным отделом "ПриватБанка"

Здесь - матрица, обратная к V. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменателе не указана, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, - вектор-столбец размерности n. Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля . Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору также не зависит от . Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от . Однако сумма компонент вектора  зависит от , а именно, компоненты вектора  пропорционально увеличиваются с ростом , поэтому доля  безрисковые вложений будет при этом сокращаться. Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля подставим оптимальный вектор  из формулы (15.3) через . Получим

Окончательно:

 или

Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска:  или . Видно, что эти зависимости линейные.

Полученный оптимальный портфель называется портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина – это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых бумаг.

Решая задачу с помощью табличного процессора Excel и его надстройки Поиск решения, получим:

=0,51

х0=0,08; х1 =0,25; х2=0; х3=0; х4=0,44; х5=0,23.

Рис. 3.3 – Оптимальный портфель ценных бумаг Тобина минимального риска.

3.4.2 Портфель Тобина максимальной эффективности и заданного риска

Получим следующее решение (рис. 3.4):

=12,31% х0=0,4; х1 =0,6; х2=0; х3=0; х4=0; х5=0.

Рис. 3.4 – Оптимальный портфель Тобина максимальной эффективности

3.5 Формирование оптимального портфеля с помощью ведущего фактора финансового рынка

В реальности доходности ценных бумаг зависят от факторов финансового рынка. В роли ведущего фактора финансового рынка удобнее всего брать среднюю доходность рисковых бумаг самого финансового рынка.

Обозначим этот фактор как f и будем считать, что доходности всех ценных бумаг зависят от него. Пусть d – доходность какой-либо фиксированной ценной бумаги. Простейшая форма зависимости – линейная, так что примем гипотезу, что d линейно зависит от f . Так как обе величины d, f – случайны, то равенство врядли может быть точным. Найдем a и b.

Попробуем подобрать такую зависимость , чтобы  было минимальным. Имеем

Дифференцируя частным образом по а и b приравниваем частные производные 0, получим систему уравнений.

Решая эту систему, получим:

Найдем математическое ожидание случайной величины , являющейся функцией от случайной величины D. Имеем . Значит, в частности, при найденных a, b для математических ожиданий случайных величин D, F верно не приближенное равенство, а точное.

.

На практике совместное распределение случайных величин (F, D) не известно, известны только результаты наблюдений, т.е. выборка пар (f, d) значений (F, D). все рассмотренные величины заменяются их выборочными аналогами. Так, для определения a, b получим систему уравнений:

Решая эту систему, получим , значит, прямая линия регрессии имеет уравнение . Через  обозначим выборочные аналоги корреляционного момента случайной величины F, D и дисперсии F соответственно.

Также можно убедиться, что для средних арифметических значений верно точное равенство, т.е.

Обычно вместо буквы используют букву . Этот коэффициент так и называют «бета ценных бумаг i – ого вида относительно рынка. Эта величина определяет влияние рынка на данные ценные бумаги: если , то доходность бумаг i – ого вида колеблется в такт с рынком, а если , то поведение бумаги прямо противоположно колебаниям доходности рынка в целом.

Вариация доходности каждой ценной бумаги равна , т.е. состоит из двух слагаемых: «собственной» вариации , не зависящей от рынка, и «рыночной» части вариации , определяемой случайным поведением рынка в целом. Их отношениеобозначается и называется R-squared. Это отношение характеризует долю риска данных ценных бумаг, вносимую рынком. те бумаги, для которых R-squared велико, в каком-то смысле предпочтительнее, так как их поведение более предсказуемо.

Найдем параметры линейной регрессии по выборке, представленной в таблице 3.1. Изобразим данные и регрессионную зависимость между ними на графиках (рис. 3.5).

Таблица 3.2. Данные по доходности финансового рынка и ценных бумаг Центрэнерго за определенный период

Рис. 3.5 – Изменение доходности рынка за счет изменения доходности ценных бумаг Центрэнерго

Регрессия d на f имеет вид: d = 0.2794f + 13.074. Следовательно, случайная величина остаточных колебаний е есть d – 0.2794f -13.074. Найдем вариации остатков, составив ряд значений е (табл. 3.3):

Таблица 3.3. Вариации остаточных колебаний курса ценных бумаг Центрэнерго

Среднее, естественно, равно 0, и потому .

Далее,=0,279,

,

=13,074+19 (0,279–1)=-0,626.

Таблица 3.4. Данные по доходности финансового рынка и акций Днепрэнерго за определенный период

Рис. 3.6 – Изменение доходности финансового рынка за счет изменения доходности акций Днепрэнерго.

Регрессия d на f имеет вид: d=0.4091f+13.091. Следовательно, случайная величина остаточных колебаний е есть d-0.4091f-13.091. Найдем вариации остатков, составив ряд значений е (табл. 3.5):

Таблица 3.5

Вариации остаточных колебаний курса ценных бумаг Днепрэнерго

Среднее, естественно, равно 0, и потому .

Далее,=0,409, , =1,861.

Таблица 3.6. Данные по доходности финансового рынка и акций Киевэнерго за определенный период

Рис. 3.7 – Измерение доходности финансового рынка за счет изменения доходности акций Киевэнерго.

Регрессия d на f имеет вид: d=0.4259f+13.056. Следовательно, случайная величина остаточных колебаний е есть d-0.4259f-13.056. Найдем вариации остатков, составив ряд значений е (табл. 3.7).

Таблица 3.7. Вариации остаточных колебаний курса ценных бумаг Киевэнерго

Среднее, естественно, равно 0, и потому .

Далее,=0,426,

,

=2,15.

Таблица 3.8. Данные по доходности финансового рынка и акций Укрнафта за определенный период

Рис. 3.8 – Изменение доходности финансового рынка за счет изменения доходности акций Укртатнафта

Регрессия d на f имеет вид: d=0.7353f+10.912. Следовательно, случайная величина остаточных колебаний е есть d-0.7353f-10.912. Найдем вариации остатков, составив ряд значений е (табл. 3.9).

Таблица 3.9. Вариации остаточных колебаний курса ценных бумаг Укртатнафты

Среднее, естественно, равно 0, и потому .

Далее,=0,735,

,

=5,876.

Таблица 3.10. Данные по доходности финансового рынка и акций Турбоатом за определенный период

Рис. 3.9 – Изменение доходности финансового рынка за счет изменения доходности акций Турбоатом

Регрессия d на f имеет вид: d=0.1765f+14.119. Следовательно, случайная величина остаточных колебаний е есть d-0.1765f-14.119.

Найдем вариации остатков, составив ряд значений е (табл. 3.11):

Таблица 3.11. Вариации остаточных колебаний курса ценных бумаг Турбоатома

Среднее, естественно, равно 0, и потому .

Далее,=0,176,

,

=-1,539.

Эффективность ценных бумаг удобно отсчитывать от эффективности безрискового вклада . Итак, , где . Превышение эффективности ценной бумаги над безрисковой эффективностью  называется премией за риск. Таким образом, эта премия за риск в основном линейно зависит от премии за риск, складывающейся для рынка в целом, и коэффициентом является «бета» данной бумаги. Это, однако, верно, если =0. такие ценные бумаги называются «справедливо» оцененными. Те же бумаги, у которых >0, рынком недооценены, а если <0, то рынком переоценены.

Рассчитав для всех ценных бумаг коэффициенты , можно сделать следующий вывод:

Акции Центрэнерго и Турбоатома переоценены рынком, а ценные бумаги других предприятий, наоборот, недооценены. Следовательно, необходимо приобретать акции Днерпэнерго, Киевэнерго и Укртатнафты.

3.6 Оценка влияния финансового рынка на портфель ценных бумаг

Рассмотрим в этой ситуации портфель ценных бумаг. Оказывается, эффективность рисковой части портфеля с зафиксированными долями также линейно зависит от эффективности финансового рынка. В самом деле, пусть доля i – той ценной бумаги есть , тогда эффективность портфеля:

или, обозначив , получим .

Дисперсия рассматриваемого портфеля: может быть разбита на две части:

Поскольку первая часть представляет взвешенную сумму собственных дисперсий доходностей бумаг, входящих в портфель, то эта часть может быть названа собственной дисперсией портфеля, а квадратный корень из нее, т.е. , может быть назван собственным риском портфеля. Вторая часть должна быть названа рыночной дисперсией. Извлекая из нее квадратный корень, получаем рыночный риск портфеля .

Задачу Марковица о формировании портфеля заданной эффективности и минимального риска теперь можно сформулировать так:

Решая задачу с помощью табличного процессора Excel и его надстройки Поиск решения, получим:

=1,33

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7