Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)

буквой х (или другой) количество платформ, получим самый короткий вариант

ответа: 75х м, где х – натуральное число, не меньшее пяти.

Что ни говори, а такое решение требует более высокого уровня

умственной деятельности, чем примитивное "Задача не имеет решения, потому

что данных не хватает". И, разумеется, что указанного решения от школьников

сразу не получишь, что и подтвердили первые пробы со стапроцентным

результатом.

Третья из указанных здесь задач предлагалась девятиклассникам лицея.

Результат тот же: "Задача не решается...". Только дополнительная просьба

назвать несколько возможных ответов подтолкнула лицеистов к анализу и в

конце концов вывела на ответ, близкий к правильному: х%, где х((50;100].

Вывод: решение неопределённой задачи обычно заканчивается

неопределённым ответом, в котором искомая величина может принимать значения

из некоего числового множества. Выявление этого множества и должно стать

целью решения такой задачи, что достигается вдумчивым анализом текста

задачи и взаимосвязей между данными величинами. Этому полезному для

умственного развития учащихся процессу нужно специально обучать.

Задачи этого типа требуют от ученика мобилизации практически всего

набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель

решения, находить данные к задаче "между строк" условия. Практически, одной

специально подобранной задачей этого типа можно проверить знания ученика по

целой теме. В качестве такого примера можно рассматривать задачу: При каких

значениях положительного параметра a уравнение logax=ax будет иметь

единственное решение и указать его. Эта задача была предложена нашей группе

(группа «А» IV курса физико–математического Могилёвского университета, 1997

год) на занятиях по дидактике математики для самостоятельного решения, что

помогло студентам группы весьма существенно повторить и углубить знания по

широкому спектру школьного курса алгебры и начал анализа.

Вообще, уравнения и другие задачи с параметрами можно рассматривать

как частные случаи неопределённых задач. Проблемность перехода к таким

задачам ощущают учителя уже при переходе от уравнений 7х=12, 0х=3, –5х=0,

0х=0 к линейному уравнению общего вида: ах=b. Предварительная тренировка в

решении неопределённых задач и здесь была бы целесообразной и полезной.

2. Задачи переопределённые – задачи с избыточным составом условия, с

лишними данными, без которых ответ может быть получен, но которые в той или

иной мере маскируют путь решения.

Как уже показано выше, данные в таких задачах могут быть

противоречивыми и выявление этой противоречивости или непротиворечивости

является обязательным элементом решения такой задачи.

Например, в задаче "Найти площадь прямоугольного треугольника с

катетами 9 см и 40 см и гипотенузой 41 см" мало найти ответ

полупроизведением 9 на 40. Надо ещё выявить, будет ли у прямоугольного

треугольника с катетами 9 см и 40 см гипотенуза равной 41 см. Без этого

выяснения решение задачи не может быть признано полным.

В этом аспекте интерес представляют практические задачи. Например, при

изучении первой формулы площади треугольника учитель приносит в класс

вырезанный из бумаги треугольник с проведенными высотами и предлагает

одному из учащихся измерить длину какой–либо стороны, потом второму ученику

длину второй стороны, третьему – третьей, ещё трое измеряют высоты, каждый

по одной. Результаты измерений записываются на доске. Теперь учитель

предлагает вычислить площадь этого треугольника. Вопрос, какая высота к

какой стороне проведена, учитель переадресует учащимся, которые измеряли,

но те, естественно, не помнят, поскольку не фиксировали на этом внимания.

Возникает интересная проблема, которая в итоге всё же разрешается, исходя

из того, что площадь одного и того же треугольника не может иметь разных

значений. Поэтому самая большая высота должна быть проведена к самой

маленькой стороне, а самая маленькая к самой большой. Теперь площадь

треугольника можно вычислять тремя способами, но результат, как выясняется,

получается не совсем одинаковым. Появляется причина поговорить о сущности

измерений, об их обязательной неточности, о качестве приближённых

измерений, об особенностях вычислений с приближёнными числами и других

соответствующих вопросах. И элементарная задача на применение примитивной

формулы наполняется богатым содержанием.

Задачи этого типа требуют от ученика умения анализировать условие,

находить в нём нужные данные и отбрасывать ненужные. Причём, "ненужными" у

разных учеников могут быть разные величины. Например, в задаче "Найти

площадь прямоугольника по стороне, диагонали и углу между диагоналями" одни

ученики будут искать ответ половиной произведения диагоналей на синус угла

между ними (тем самым сторона становится лишним данным), другие получат

ответ произведением сторон, предварительно вычислив вторую сторону по

теореме Пифагора (здесь угол становится лишним данным). Возможен и третий

вариант, когда лишним данным станет диагональ. Использование нескольких

вариантов решения такой задачи полезно не только для их сравнения, но

больше для самоконтроля: одинаковость ответов при разных решениях повышает

уверенность в их правильности. Отсюда можно получить и один из надёжных

способов самоконтроля в решении традиционных задач: после получения ответа

вставить этот ответ в текст задачи как одно из данных, а одну из известных

величин считать неизвестной и решить полученную новую задачу.

3. Нереальные (или противоречивые) задачи обычно относят к отдельному

типу, хотя, как отмечено выше, они являются составной частью

переопределённых (иногда определённых) задач.

Пример: Найти площадь треугольника со сторонами 10 см, 19 см и8 см.

Вовсе необязательно решать приведенную задачу, чтобы понять, что она

не имеет решения. Достаточно лишь проверить условие на противоречивость при

помощи неравенства треугольника и убедиться, что задача не может иметь

решения.

Можно было бы решить эту задачу, используя формулу Герона, но и тогда

в конце концов был бы получен противоречивый результат (подкоренное

выражение получилось бы отрицательным).

Для таких задач характерным является то, что они могут иметь

достаточно красивое решение, как это было с приведённой выше задачей на

переливание жидкости, но только это решение будет противоречить здравому

смыслу. При решении таких задач необходимо всегда в конце возвращаться к

условию и делать проверку полученного решения. А поскольку противоречивость

задачи не всегда бросается в глаза, это приучит выполнять проверку

полученного ответа в каждой задаче. Некоторые из задач этого типа позволяют

выявить противоречие данных еще при анализе условия, в результате чего

процесс решения становится излишним. Достаточно частое повторение таких

ситуаций приведёт учащихся к необходимости анализировать условие перед

началом решения, чтобы избавить себя от лишней работы.

Итак, мы выяснили, что каждый из указанных типов задач несёт в себе

определённую развивающую функцию. Так, переопределённые задачи требуют

умения анализировать условие и строить решение задачи при помощи

минимального числа данных. Противоречивые задачи заставляют делать проверку

решения, более внимательно анализировать данные задачи. Неопределённые

задачи требуют достаточно обширных знаний об объекте задачи, о связях его с

другими математическими объектами, которые могут оказаться полезными при

получении пусть неопределённого, но всё же ограниченного некими рамками

ответа.

Известно (см., например, книги Д.Пойа), что процесс решения

математической задачи предусматривает реализацию четырёх этапов: изучение

текста задачи, составление плана решения, его выполнение, изучение

полученного решения ("взгляд назад"). Для успешного формирования у

школьников умений, связанных с реализацией того или иного вида

деятельности, необходимо обучать их самостоятельно выполнять каждый из

указанных этапов процесса решения задач. Для этого целесообразно учить

учащихся операциям, соответствующим определённому этапу работы с задачей.

Указанные выше типы задач и позволяют ученику усовершенствовать свои умения

в каждом из данных видов деятельности.

III. Прикидка методического подхода

к обучению решению «аномальных» задач

Как же научить учащихся решать задачи указанных типов? Как приучить их

к "нестандартному"[1] подходу к решению задачи?

Основой для ответа на поставленный вопрос можно считать известную

таблицу Д.Пойа "Как решать задачу" [16, с. 210-212]. В числе основных

вопросов, над которыми следует задумываться решателю, Д.Пойа выделяет

следующие:

Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для

определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или

противоречиво?..

Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько

определённым окажется тогда неизвестное? Как оно сможет меняться?..

Все ли данные вами использованы? Все ли условия? Приняты ли во

внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?..

Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения?..

Перечисленные выше вопросы и советы из таблицы Д.Пойа являются

малопопулярными или совсем непопулярными у школьных учителей. Хотя бы

потому, что первая часть этих вопросов и не требуется в отношении

традиционных школьных задач. Для того, чтобы таблица Д.Пойа заработала в

полной мере, и возникает необходимость дополнить школьные наборы задач

задачами неопределёнными и переопределёнными.

Попробуем осмыслить возможный методический подход к обучению учащихся

решению таких задач.

Начнём с того, что осторожное включение таких задач возможно уже в 5–6

классах или даже раньше [24, с. ]. Начинать, как нам представляется,

следует с введения задач переопределённых, предупреждая на первых порах

учащихся о наличии избыточных данных и предлагая им найти такие данные,

постепенно переходя от задач простых к таким задачам, в которых избыточные

данные не сразу бросаются в глаза. Когда учащиеся приобретут некоторые

навыки решения таких задач, можно перейти к введению таких задач уже без

предупреждения о наличии избыточных данных, чередуя эти задачи с

традиционными определёнными задачами. Таким образом, не зная, имеется ли в

условии задачи лишнее данное или нет, но подозревая, что оно может быть,

учащиеся к каждой задаче будут подходить критически, что вызовет большую,

чем в традиционных условиях, необходимость внимательного анализа условия

задачи и различных подходов к её решению.

На некотором этапе переопределённые задачи, предлагаемые учащимся,

могут стать противоречивыми. Использование таких задач постепенно приучит

их к тому, что обнаруженное в условии лишнее данное не следует

игнорировать, но следует проверять его на противоречивость (при этом, как

нам представляется, чаще нужно ориентироваться на вычисления с

приближёнными величинами, чем с точными). Кроме того, использование задач с

противоречивыми данными позволит учащимся заметить (не без помощи учителя)

полезность вдумчивого анализа условия, в результате которого можно выявить

противоречивость и тем самым не искать решения, т.е. облегчить себе работу.

А поскольку никогда не ясно, есть ли противоречие в условии задачи или нет,

то вдумчивому анализу будут подвергаться условия всех задач, что следует

считать чрезвычайно полезным качеством решателя задач.

Когда переопределённые задачи станут привычными и не будут вызывать у

учащихся настороженности и протеста, можно перейти к решению неопределённых

задач, снова же вначале предупреждая учащихся о том, что в условии задачи

некоторых данных не хватает, и предлагая им указать, каких. При этом

полезно сравнивать, как зависит ответ задачи от различных дополнений

учащихся – с возможным, но пока не обязательным, выходом на диапазон этого

ответа. Ибо целью решения таких задач, как уже отмечено выше, и является

указание диапазона возможных состояний ответа.

Мы попытались разработать систему задач с использованием всех задач

рассматриваемой классификации в одной из тем школьного курса геометрии.

Критерии создания такой системы задач рассматриваются в [19]. Автор

пишет :

"Последовательное, постепенно усложняющееся варьирование условия задач

является основным принципом, определяющим построение упражнений при

обучении решению типовых задач. Вначале – на первоначальных этапах

самостоятельного решения новой для ученика типовой задачи (после того, как

она разобрана в классе) – варьирование условия касается самых

несущественных его сторон, непосредственно не влияющих на применение

основного приёма решения, а именно сюжета задачи и числовых величин.

Последующее варьирование условия задачи имеет целью не столько закрепление

в памяти учащихся того или иного типового приёма (это тоже необходимо),

сколько выработку умения распознавать за различной внешней формой задачи её

одинаковую логическую структуру. На этом этапе большое значение приобретает

решение задач данного типа аналогичных по логической структуре, но

изменённых по словесной формулировке. При этом изменение формулировки

должно касаться той части условия, которая является определяющей для выбора

приёма решения.

Решая систему задач, построенную по этому принципу, учащиеся

приучаются улавливать самое существенное в условии задач, правильно

абстрагируясь от внешних сторон – своеобразия их формулировок.

На следующем этапе целесообразно вводить в условия задач

дополнительные элементы, увеличивая количество числовых данных.

Исследования показывают, что в этом случае, несмотря на то, что введение

дополнительных данных никак не влияет на использование основного приёма

решения, для учащихся всё же создаётся новая ситуация, требующая от них

умения вычленить ту часть условия, которая определяет применение типового

приёма и в ходе действий при решении задачи найти ему правильное место.

То же самое следует отметить и о применении задач переопределённых,

корректных, но вызывающих противоречие при решении. Эффект от введения этих

задач не стоит недооценивать, их цель в системе задач – вызов ситуации, при

которой задача не имеет решения при вроде бы существующем на самом деле

математическом (записываемом посредством математического языка) решении.

В дальнейшем уже можно прибегать к такому варьированию условий задачи,

которое требует видоизменения самого типового приёма. Такого рода

варьирование способствует выработке более сложных умений, значение которых

для формирования самостоятельного мышления учащихся очень велико. Речь идёт

в этих случаях о выработке умений перестраивать известные способы решения в

соответствии с изменением условий задачи. Успех этой перестройки

непосредственно зависит от того, в какой мере учащиеся умеют анализировать

задачи, улавливая одновременно и сходное и различное." [19, с. ]

И, наконец, последнее видоизменение условия задачи – составлять

условие таким образом, чтобы некоторых данных в них не хватало. С учётом

предыдущего опыта учеников по решению задач, этот тип задач, во–первых,

будет для них несколько сложным и новым, во–вторых, решая задачи такого

типа, ученики более наглядно осознают скрытые свойства объекта задачи,

уясняют более детально динамические соотношения между понятиями и

определениями, применяемыми при решении данной задачи.

IV. Расширенная система задач по теме «Сумма углов треугольника»

В соответствии с вышесказанным предлагается к рассмотрению система

задач по теме "Сумма углов треугольника" (геометрия, 7 класс). Тема эта не

громоздкая, достаточно чёткая и богато насыщенная различного рода задачными

ситуациями.

Для составления требуемой системы задач было выделено 5 основных

аспектов данной темы:

. непосредственное использование указанного свойства углов в

произвольном треугольнике;

. то же – для равнобедренного треугольника;

. то же – для прямоугольного треугольника;

. то же – для углов, образованных внутри треугольника медианами,

биссектрисами, высотами и др.;

. то же – с выходом на внешние углы треугольника.

I. Применение свойства углов для произвольного треугольника

1. Два угла треугольника равны 26( и 118(. Найти величину третьего угла

треугольника.

2. Два угла треугольника равны 118( и 62(. Найти величину третьего

угла.

3. Найти углы треугольника, если они пропорциональны числам 3, 4, 5.

4. В треугольнике ABC угол A равен 24(, угол C в два раза больше угла

B. Найти неизвестные углы треугольника.

5. Найти углы треугольника, если один из его углов равен сумме двух

других, а два меньших угла относятся, как 2:3.

6. Найти попарные отношения углов треугольника, если один из них равен

36(, а второй – 84(. (Задача имеет 6 ответов).

7. В треугольнике ABC угол A равен 30(, угол B равен 70(, и два угла

относятся, как 7:8. Найти углы треугольника ABC.

8. В треугольнике ABC угол A равен 30(, угол B равен 70(, и два угла

относятся, как 4:7. Найти углы треугольника ABC.

Страницы: 1, 2, 3, 4