Реферат: Автоматические устройства

                            Указания  к  решению  задачи.

         Нелинейная система дифференциальных уравнений (3), (4) с заданными начальными условиями интегрируется в интервале времени [0, t1]. Запись выражений для w1z, w2z, w3z, w4z, Vcx, Vcy  должна обеспечивать возможность присвоения последовательных значений этих переменных на каждом шаге интегрирования. В разных вариантах заданий наиболее компактная последовательность записи может быть различной,например w1z(ji, wkx), w2z(ji, w1z), w3z(ji, w1z, w2z), w4z(ji, w1z, w1z, w2z, w3z), Vcx(ji, w1z, w2z, w3z), Vсy(ji, w1z, w2z, w3z). На печать с шагом Dt=t/24 выводятся переменные  t, j1, j2, j3, w1z, w2z, w3z, w4z   или  Vcx, Vcy.

         Один из возможных вариантов решения задачи  в котором уравнения  (3), (4)  интегрируются по конечноразностной схеме Эйлера, приведен в примере.

                                      Контроль    решения.

         После решения задачи на ЭВМ  проводится анализ таблицы результатов.Первая строка таблицы  содержит найденные начальные значения  w1z, w2z, w3z, w4z  или Vcx, Vcy, и начальные значения  j1, j2, j3. Последняя строка с некоторой погрешностью счета должна повторять первую.

         Построенные по результатам счета графики не должны иметь разрывов.

         Последняя проверка производится путем сравнения результатов счета на ЭВМ с результатами графоаналитического решения задания,для чего механизм изображается в масштабе 1:10 в момент времени t=(N+1) ´Dt  ((N+2)-я строка таблицы счета). Для этого положения необходимо найти мгновенные центры скоростей звеньев, их угловые скорости, изобразить векторы скоростей точек, в которых соединяются звенья, указать направление вращения звеньев. Результаты этого решения должны быть близкими с результатами решения задачи на ЭВМ, содержащимися в строке таблицы счета.

                            Пример   выполнения   задания.

                                      (вариант 31, n=1, N=2)

1. Постановка задачи. Рассматривается плоский механизм с двумя степенями свободы. Движение точки М задано: Vмx=0, Vмy=Vsin(pt+a).

Дано: a=4,35рад;   DA=r1=0,953м;   BC=r3=0,457м;

BM=2r3;   AB=r2=0,847м;   j1(0)=1,63рад;   j2(0)=3,37рад;

j3(0)=2,87рад;   CP=0,5r3;   V1=4,5м/c;   a=0,02рад;

t=0,48c;   Dt=0.02c;   p=13,08c-1.

2. Составление уравнений движения. Составляются уравнения для четырех неизвестных угловых скоростей  звеньев  w1z, w2z, w3z, w4z. При заданном движении точки М  они определяются из уравнений внешних связей, налагаемых на механизм. На данный механизм наложены связи:          VDx=0,     VDy=0,     Vpx=0,     Vpy=0,    Vcy=0.                           (5)

         При вычислении скорости точки С последовательно определяются скорости точек  в соответствии с графом  МВС,при вычислении скорости точки Р - в соответствии с графом МВСР,при вычислении скорости точки D4 - в соответствии с графом МВАD   или   РСВАD   или   СВАD.

         Составляются все возможные варианты векторных уравнений

                                                               (6)

                                                    (7)      

                                                   (8)

                                       (9)

                                                     (10)

         Проецируя обе части уравнений на оси координат  X  и  Y  с учетом  (5) получим систему алгебраических уравнений  для определения wiz(i=1,2,3,4). Уравнение (6) проецируется на ось Y, так как  Vcy=0,  то

                   Vmy+w3z´2r3´cos(j3+p)+w3z´r3´сos(j3+)=0                 (11)

Уравнение (7) проецируется на оси  X  и  Y, так как  Vpx=0  и   Vpy=0, то

         0 - w3z´2r3´sin(j3+p) - w3z´r3´sin(j3+) - w4z´0,5r3´sinp=0       (12)

    VMy + w3z´2r3´cos(j3+p) + w3z´r3´cos(j3+) + w4z´0,5r3´cosp=0   (13)

Уравнение  (8) проецируется на оси X   и  Y, так  как.   VDx=0   и   VDy=0, то

           0 - w3z´2r3´sin(j3+p) - w2z´r2´sin(j2-p) - w1z´r1´sin(j1+p)=0        (14)

    Vmy + w3z´2r3´cos(j3+p) + w2z´r2´cos(j2-p) + w1z´r1´cos(j1+p)=0      (15)

Уравнение  (9) проецируется на оси  X  и  Y, так как

         VDx=0,   VOy=0,   VPx-0,   VPy=0, то

- w4z´0.5r3´sin - w3z´r3´sin(j3 - ) - w2z´r2´sin(j2 - p)-w1z´r1´sin(j1+p)=0

                                                                                                                          (16)              

w4z´0.5r3´cos+w3z´r3´cos(j3 - )+w2z´r2´cos(j2 - p)+w1z´r1´cos(j1+p)=0

                                                                                                                          (17)

Уравнение  (10) проецируется на ось  Y, так как  VDx=0,   VDy=0   и   VCy=0, то

         w3z´r3´cos(j3 -)+ w2z´r2´cos(j2 -p) + w1z´r1´cos(j1+p)=0               (18)

         Из составленных уравнений связей выбираем 4, позволяющих наиболее простым путем произвести преобразования и выразить одни неизвестные через другие. В данном случае это уравнения (11), (12), (16), (18), которые с учетом формул приведения запишутся в следующем виде:

         VMy  - 2w3z´r3´cosj3 - w3z´r3´sinj3=0

         2w3z´r3´sinj3 - w3z´r3´cosj3+0,5´w4z´r3=0                             (19)

         - 0,5´w4z´r3+w3z´r3´cosj3+w2z´r2´sinj2+w1z´r1´sinj1=0

         w3z´r3´sinj3 - w2z´r2´cosj2 - w1z´r1´cosj1=0

Система уравнений (19) может быть разрешена относительно wiz:

         w4z=2w3z(cosj3 - 2sinj3)                                                           (20)                  

         Дополним  (20) уравнениями:

         ;                                                              (21)

         Уравнения (20) и (21) образуют систему дифференциальных уравнений, интегрирование которой при заданных начальных значениях j1(0), j2(0), j3(0)  решает задачу о движении механизма при заданном движении точки М.

3. Решение задачи и обработка результатов.  Вычисления могут проводиться с использованием конечно-разностной схемы Эйлера, позволяющей связать значения углов и угловых скоростей в начале и конце k-го шага интегрирования :

                   j1(k+1)=j1(k)+w1z(k)´Dt;

                   j2(k+1)=j2(k)+w2z(k)´Dt;                                                       (22)

                   j3(k+1)=j3(k)+w3z(k)´Dt.

         Программа счета составляется на любом языке программирования, результаты оформляются с помощью программы в виде таблицы. По результатам решения строятся графики w1z(t),  w2z(t),  w3z(t),  w4z(t), которые не должны иметь разрыва и иметь явно выраженный синусоидальный характер.

         4. Графическая проверка.  Извлекаются из таблицы счета значения углов поворота звеньев из строки под номером (N+2).  Механизм строится в масштабе  1:10, определяется положение мгновенных центров скоростей (рис. 3). Строятся векторы скоростей точек A, B, C, M и указываются  дужками направления вращения звеньев. По известным значениям скоростей и расстояниям до мгновенных центров скоростей определяются значения угловых скоростей звеньев.

Результаты, полученные с помощью графических построений, должны быть близки к  результатам рещения задачи на ЭВМ и не должны отличаться более чем на 5%.

II.    Кинематика   управляемого   движения   манипулятора.

                            Описание задания.

         Манипулятор  (рис.1), имеющий две системы свободы позволяет, при срабатывании приводов, захвату, точке  М, осуществлять движение в плоскости по двум координатам и при определенных условиях совместить захват с двигающейся деталью,точкой К.  Деталь К движется с постоянной скоростью  Vк  в указанном на рисунке направлении. Координаты точки К изменяются по закону:

                   XK=XK(0)+VKx´ t;      YK=YK(0)+VKy´ t.                      (23)

         Управление движением захвата  М  осуществляется по линейной комбинации рассогласований координат точек К и М, а также их производных. Рассогласование координат точек  К  и  М в момент времени t=t2  должно составлять величину  d  от начальных рассогласований.

         Исходные данные определяются формулами (24) и табл. 1

                   r1=r1T+0,001n,             ri=riT+0,001N

                   j1(0)=j1T+0,001n,      ji(0)=jiT+0,001N(i=2,3)               (24)

                   VK=VKT - 0,003N,        t2=1,2(1+0,02N)

                   Dt=.                                                                                 (24)

Требуется:

1. Выбрать управление, решающее поставленную задачу.

2. Исследовать движение манипулятора при выбранном  управлении.

Конкретные пункты исследования приведены в примере.

                   Указания   к   составлению    уравнений   движения.

         Предполагается, что координаты захвата  М(XM,YM) в процессе движения известны, например, за счет прямых измерений;координаты детали К(XK,YK) заданы уравнениями (23). Тогда можно вычислить рассогласования:

                   DX=XK- XM;          DY=YK- YM                                        (25)

         Управление движением захвата осуществляется по сигналам управления  ux,  uy, образованным линейной комбинацией рассогласований и их производных:

         ux=DX+T*DX;            uy=DY+T*DY,                                (26)

где T* -  множитьель размерности времени.

         Сигналы (26)  подаются на управление двигателями  манипулятора с коэффициентом усиления  k  величина

                                                kux,     kuy                                               (27)

         В современных высокоточных механизмах коэффициэнты усиления k очень велики. Можно считать  k®¥,  при этом величины (27) остаются конечными,обеспечивающими  требуемое движение манипулятора,поэтому можно предположить  ux, uy®0.

Приближенные  предельные  уравнения

                                      ux=0,         uy=0                                              (28)

описывают движение манипулятора с погрешностью порядка 1/k.

Из  (25), (26), (28) получим уравнения:

                    =VKx+(XK - XM)

                    =VKy+(YK - Y M)                                                 (29)

         Манипулятор является механической системой  с двумя степенями свободы, движение по двум координатам  XM, YM, найденные  по (29) однозначно определяет движение всех его звеньев. Кинематические уравнения, описывающие изменения углов поворота и угловых скоростей звеньев могут быть заимствованы из предыдущей задачи.

                   Указания   к  выбору  коэффициэнта  управления.

Уравнения (26), (28) в рассогласованиях  DX   и   DY примут вид:

                   T*DX +DX=0;           T*DY +DY=0

Решение этих дифференциальных уравнений однотипно:

                   Dx=Dx(0) е-  ;                  Dy=Dy(0) е-                     (30)

         По условию задания, к концу интервала времени t2 рассогласования DX,  DY должны составлять величину  d  от начальных рассогласований.

Из  (30) имеем :   ,  откуда   Т*= .

         Указания   к   выбору   начальных   условий.    Если систему уравнений  (29)   и кинематических уравнений движения звеньев  привести к форме Коши, то она будет иметь вид:

                   M=VMx(XM,t);             M=VMy(YM,t);                        (31)

                   i=wiz(ji, Vmx, Vmy, t)     (i=1,2,3)

         Эти уравнения манипулятора,являющегося системой с двумя степенями свободы, записаны в избыточном наборе пяти переменных  XM, YM, j1, j2, j3. Отсюда следует, что из начальных значений этих переменных независимо могут задаваться только два. В таблице 1 независимыми задаются величины j1(0), j2(0), значения j3(0) указанные в таблице,вычислены по  j1(0), j2(0) для рассматриеваемой конструктивной схемы манипулятора. Значения  XM(0), YM(0)  следует находить по заданным  j1(0), j2(0), j3(0).

         Указания   к   решению   задачи.   Дифференциальные уравнения движения манипулятора с заданными начальными условиями интегрируются на интервале времени   [ 0, t2 ]   с шагом  Dt. При решении задачи рекомендуется использовать конечноразностную схему Эйлера.

         Контроль   решения.   Построенные по результатам счета графики не должны иметь разрывов. При  t=t2  рассогласование между точками  М   и   К   должно быть величиной порядка  d  от начального. Результаты вычисления на ЭВМ для момента времени  t=(N+1)´Dt   угловых скоростей звеньев и скорости точки   С   должны совпадать с результатами графоаналитического решения для этого момента времени. Расхождения не должны превышать  5%.

                            Пример   выполнения   задания .

                                 (вариант 31,  n=1, N=2)

         1. Постановка   задачи.  Управление манипулятором (рис.4) должно обеспечить за время  t2   сближение захвата  М   с движущейся деталью  К. Деталь движется прямолинейно с постоянной скоростью   Vк  в указанном на рисунке направлении. Начальное положение манипулятора задано углами поворота  звеньев  j1(0), j2(0), j3(0). К моменту времени  t=t2  требуется относительная точность  d   совмещения точек   М   и   К. Управление манипулятором осуществляется  по линейной комбинации рассогласований и их производных.

         Дано:   Vk=0,304м/c;   a=4,35рад;    DA=r1=0,953м;    BC=r3=0,457м;  BM=2r3;    AB=r2=0,847м;    j1(0)=1.63рад;     j2(0)=3,37рад;    j3(0)=2,87рад;    Xk(0)=-2,16м;    Yk=1,18м;    d=0,01;    t2=1,37c;    Dt=0,057c.

         Требуется:    1. Составить уравнения управляемого движения точки   М,   уравнения углового движения  звеньев манипулятора и уравнения для скорости точки    С.     2. Выбрать параметры управления, обеспечивающего сближение точек    М    и     К   с заданной точностью.   3. Проинтегрировать с помощью ЭВМ  уравнения движения на интервале времени  [ 0, t2 ].  4. Построить траектории сближения точек  М    и    К   и  графики  j1(t), w1z(t), Vcx(t). 5. Для момента времени   t=(N+1)Dt=0,456c    провести графоаналитическое решение задачи и сравнить с результатами счета.

Страницы: 1, 2, 3