Основы теории систем и системный анализ (лекции)

E = f(X,Y)                                                                                        {3 - 1}

где:           

E —  некоторый количественный показатель эффективности системы в плане достижения цели ее существования T, будем называть его — критерий эффективности.

X  —  управляемые переменные системы —  те, на которые мы можем воздействовать или управляющие воздействия;                        

Y —  неуправляемые, внешние по отношению к  системе  воздействия;  их  иногда называют состояниями природы.                           

Заметим, прежде всего, что возможны ситуации, в которых нет никакой необходимости учитывать состояния природы. Так, например,  решается стандартная  задача размещения запасов нескольких видов продукции и при этом можем найти E вполне однозначно, если известны значения Xi  и, кроме того, некоторая информация о свойствах анализируемой системы.

В таком случае принято говорить о принятии управляющих решений    или о стратегии управления в условиях определенности.

Если же с воздействиями окружающей среды, с состояниями природы мы вынуждены считаться, то  приходится управлять системой в условиях неопределенности или, еще хуже —  при наличии противодействия. Рассмотрим первую, на непросвещенный взгляд — самую простую, ситуацию.

3.4 Моделирование в условиях определенности

Классическим примером простейшей задачи системного анализа в условиях определенности может служить задача производства и поставок товара. Пусть некоторая фирма должна производить и поставлять продукцию клиентам равномерными партиями в количестве N =24000 единиц в год. Срыв поставок недопустим, так как  штраф за это можно считать бесконечно большим.

Запускать в производство приходится сразу всю партию, таковы условия технологии. Стоимость хранения единицы продукции Cx=10 копеек в месяц, а стоимость запуска одной партии в производство (независимо от ее объема) составляет  Cp =400 гривен.

Таким образом, запускать в год много партий явно невыгодно, но невыгодно и выпустить всего 2 партии в год — слишком велики затраты на хранение!  Где же “золотая середина”, сколько партий в год лучше всего выпускать?

Будем строить модель такой системы. Обозначим через n размер партии и найдем количество партий за год —  p = N / n  24000 / n.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Получается, что интервал времени между партиями составляет 

t = 12 / p (месяцев), а средний запас изделий на складе  —  n/2 штук.

Сколько же нам будет стоить выпуск партии в n штук за один раз?

Сосчитать нетрудно — 0.1 · 12 · n / 2  гривен  на складские расходы в год и 400p  гривен за запуск  партий по n штук изделий в каждой.

В общем виде годовые затраты составляют

E =  Tn / 2 + N / n                                                 {3 - 2}

где T = 12 —  полное время наблюдения в месяцах.

Перед нами типичная вариационная задача:  найти такое n0, при котором сумма   E достигает минимума.

Решение этой задачи найти совсем просто — надо взять производную по n и приравнять эту производную нулю. Это дает

n0 =    ,                                                                      {3 - 3}

что для нашего примера составляет 4000 единиц в одной партии и соответствует интервалу выпуска партий  величиной  в 2 месяца. 

Затраты при этом минимальны и определяются как 

E0 =  ,                                                   {3 - 4}

что для нашего примера составляет 4800 гривен в год.

Сопоставим эту сумму с затратами при выпуске 2000 изделий в партии или выпуске партии один раз в месяц (в духе недобрых традиций социалистического планового хозяйства):      

E1 = 0.1·12·2000/2 + 400·24000/ 2000 = 6000 гривен в год. 

Комментарии, как говорится, — излишни!

Конечно, так просто решать задачи выработки оптимальных стратегий удается далеко не всегда, даже если речь идет о детерминированных данных для описания жизни системы —  ее модели. Существует целый класс задач системного анализа и соответствующих им моделей систем, где речь идет о необходимости минимизировать одну  функции многих переменных следующего типа:

E = a1X1 + a2X2 + ..... anXn                                                                                {3 - 5}

где Xi  —  искомые переменные,   ai  —  соответствующие им коэффициенты или “веса переменных”  и при этом имеют место ограничения как на переменные, так и на их веса.   

Задачи такого класса достаточно хорошо исследованы в специальном разделе прикладной математики — линейном программировании.  Еще в докомпьютерные времена были разработаны алгоритмы поиска экстремумов таких функций  E = f(a,X), которые так и назвали — целевыми. Эти алгоритмы или приемы используются и сейчас — служат основой для разработки прикладных компьютерных программ системного анализа.

Системный подход к решению практических задач управления экономикой, особенно для задач со многими десятками сотен или даже тысячами переменных привел к появлению специализированных, типовых направлений как в области теории анализа, так и в практике.

Наиболее “старыми” и, следовательно, наиболее обкатанными  являются методы решения специфичных  задач, которые давно уже можно называть классическими.

Специалистам в области делового администрирования надо знать эти задачи хотя бы на уровне постановки и, главное, в плане моделирования соответствующих систем.

· Задачи управления запасами

Первые задачи управления запасами были рассмотрены еще в 1915 году — задолго не только до появления компьютеров, но и до употребления термина “кибернетика”.  Был обоснован метод решения простейшей задачи — минимизация затрат на заказ и хранение запасов при заданном спросе на данную продукцию и фиксированном уровне цен. Решение —  размер оптимальной партии  обеспечивало наименьшие суммарные затраты за заданный период времени.

Несколько позже были построены алгоритмы решения задачи управления запасами при более сложных условиях — изменении уровня цен (наличие “скидок за качество” и / или  “скидок за количество”);  необходимости учета линейных ограничений на складские мощности и т. п.

· Задачи распределения ресурсов

В этих задачах объектом  анализа являются  системы, в которых приходится выполнять несколько операций с продукцией (при наличии нескольких способов выполнения этих операций) и, кроме того, не хватает ресурсов или оборудования для выполнения всех этих операций.

Цель системного анализа — найти способ наиболее эффективного выполнения операций с учетом ограничений на ресурсы.

 Объединяет все такие задачи метод их решения — метод математического программирования, в частности, — линейного программирования. В самом общем виде задача линейного программирования формулируется так:

требуется обеспечить минимум выражения (целевой функции)

E(X) = C1X1 + C2X2 + ......+ CiXi + ... CnXn                       {3 - 6}         при следующих условиях:

все  Xi  положительны и, кроме того, на все Xi  налагаются m ограничений  (m < n)

A11·X1 + A12·X2 + ......+ Aij·Xj  + ... A1n·Xn  = B1;

.....................................................................................

Ai1·X1  + Ai2·X2  + ......+ Aij·Xj  + ... Ain·Xn  = Bi;                                {3 - 7}

.....................................................................................

Am1·X1 + Am2·X2  + .....+ Amj·Xj+ ... Amn·Xn  = Bm .

Начала теоретического обоснования и разработки практических методов решения задач линейного программирования были положены Д.Данцигом (по другой версии — Л.В.Канторовичем).

Для большинства  конкретных приложений универсальным считается т. н. симплекс-метод поиска цели, для него и смежных методов разработаны специальные пакеты прикладных программ (ППП) для компьютеров.

3.5 Наличие нескольких целей —  многокритериальность системы

Весьма часто этап содержательной постановки задачи системного анализа приводит нас к выводу о наличии нескольких целей функционирования системы. В самом деле, если некоторая экономическая система может иметь “главную цель” —  достижение максимальной прибыли,  то почти всегда можно наблюдать ситуацию наличия ограничений или условий. Нарушение этих условий либо невозможно (тогда не будет самой системы), либо заведомо приводит к недопустимым последствиям для внешней cреды. Короче говоря, ситуация, когда   цель всего одна и достичь ее требуется любой ценой, практически невероятна.

Пусть имеется самая простая ситуация многокритериальности — существуют только две цели системы T1 и T2 и только две возможных стратегии  S1, S2 .

Пусть мы как-то оценили эффективность E11 стратегии S1  по отношению к T1  и эффективность эта оказалась равной 0.4 (по некоторой шкале 0..1).  Проделав такую же оценку для всех стратегий и всех целей, мы получили табличку (матрицу эффективностей):

Таблица 3.1

E

    T1

T2

    S1

   0.4

0.6

    S2

   0.7

 0.3